Matematyka.pl

teraz powinno być z minusem, bo pochodna \(\displaystyle{ \cos x}\) to \(\displaystyle{ -\sin x}\).

No to się zamotało.

\(\displaystyle{ v'= \sin x}\) to v=?

\(\displaystyle{ v'= \cos x}\) to v=?

Będę wdzięczny za uzupełnienie.

w pierwszym przypadku \(\displaystyle{ -\cos x}\). a w drugim \(\displaystyle{ \sin x}\).

Racja bo w v nie ma być pochodna tylko całka.

Wreszcie wziąłem do łapy wzory na całki i elegancko wszystko jest napisane.

-- 9 wrz 2011, o 18:15 --

\(\displaystyle{ \int \left( x ^{2}\cos x\right) \text{d}x = \left|\begin{array}{ccc}u= x ^{2}&&v^\prime = \cos x\\2x&&v= \sin x\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ = x ^{2} \cdot \sin x - \int 2x \cdot \sin x\,\text{d}x = x ^{2} \cdot \sin x - 2 \int x \cdot \sin x\,\text{d}x = \left|\begin{array}{ccc}u= x&&v^\prime = \sin x\\u^\prime = 1&&v= -\cos x\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ = x ^{2} \cdot \sin x - 2\left( x \cdot \left(-\cos x\right) - \int 1 \cdot \left(-\cos x\right)\,\text{d}x\right) = x ^{2} \cdot \sin x - 2\left( x \cdot \left(-\cos x\right) + \int \cos x\,\text{d}x\right) =}\)

\(\displaystyle{ = x ^{2} \cdot \sin x - 2 \left( x \cdot \left(-\cos x\right) + \sin x\right) + C=x^2\sin x +2x\cos x -2\sin x +C}\)

Będę wdzięczny za info czy dobrze.

Jest OK.

\(\displaystyle{ \int \left( x \cdot \cos x\right) \text{d}x = \left|\begin{array}{ccc}u= x&&v^\prime = \cos x\\1&&v= \sin x\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ = x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x\,\text{d}x = x \cdot \sin x + \int \sin x\,\text{d}x=}\)

\(\displaystyle{ = x \cdot \sin x + \left(-\cos x\right) + C}\)

Dobrze to ? Bo na kolokwium wydało mi się to zaskakująco krótkie i pewnie coś źle zrobiłem.

-- 10 wrz 2011, o 14:33 --

No to chyba sam znalazłem błąd;/

\(\displaystyle{ = x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x\,\text{d}x = x \cdot \sin x - 1 \int \sin x\,\text{d}x=}\)

\(\displaystyle{ = x \cdot \sin x - \left(-\cos x\right) + C = x \cdot \sin x + \cos x\right) + C}\)

Tak chyba byłoby dobrze.

Tak, to drugie jest dobrze.

Mam takie szybkie pytanie do przykładów z podstawieniem. Gdy już mamy ten końcowy wynik to za "t" podstawiamy wyrażenie np: \(\displaystyle{ x ^{2} -3}\) czy już nie trzeba.

Jak wyjdzie Ci całka z \(\displaystyle{ t}\), to musisz potem powrócić do poprzedniej zmiennej.