Egzamin z analizy, problem z całkami

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Timbus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy

Egzamin z analizy, problem z całkami

Post autor: Timbus » 4 wrz 2011, o 10:25

Witam Serdecznie.

Na egzaminie miałem zadanie treści następującej: Obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int\int y \cos x ^{2}\,\text dx\,\text dy}\) gdy obszar D zawarty jest pomiędzy krzywymi \(\displaystyle{ y= \sqrt{x} , y=0 \ i \ x=4}\).

Potrafię narysować ten obszar ale nie wiem jak zrobić obliczenie D.

Czy po przekształceniach będzie tam postać: \(\displaystyle{ \int_{0}^{4} x^{2}\,\text dx \int_{0}^{ \sqrt{x} }y\cos\,\text dy}\)?

Proszę o pomoc.

Pozdrawiam Serdecznie!
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 19:57 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Egzamin z analizy, problem z całkami

Post autor: Crizz » 4 wrz 2011, o 11:31

No nie bardzo. Z czego liczysz ten \(\displaystyle{ \cos}\) pod całką? ( i dlaczego \(\displaystyle{ x^2}\) spod niego wyskoczyło? )

Timbus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy

Egzamin z analizy, problem z całkami

Post autor: Timbus » 4 wrz 2011, o 11:37

Po prostu myślałem że rozbija się to wyrażenie\(\displaystyle{ y\cos x^2}\) na 2 części i jedna to właśnie \(\displaystyle{ x^2}\) a druga to \(\displaystyle{ y\cos}\)...ale widzę że moje rozumowanie jest złe ;P mógł byś mi powiedzieć jak Ty to widzisz?
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 11:40 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Egzamin z analizy, problem z całkami

Post autor: Crizz » 4 wrz 2011, o 11:44

To działa tak:

\(\displaystyle{ \iint_D y\cos x^{2}=\int_0^4 \left( \int_0^{\sqrt{x}}y \cos x^2 \mbox{d}y \right) \mbox{d}x}\)

Policz najpierw wewnętrzną całkę, a potem zewnętrzną. \(\displaystyle{ \int y \cos x^2 \mbox{d}y=?}\)

Timbus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy

Egzamin z analizy, problem z całkami

Post autor: Timbus » 4 wrz 2011, o 13:48

Rozumiem że całkę wewnętrzną, tzn. \(\displaystyle{ \int_{ 0}^{\sqrt{x}}y\cos x^{2}\,\text dy}\);liczymy po dy, prawda?

Czyli w takim wypadku powinniśmy otrzymać wyrażenie: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} y^{2}}\) ? Czy źle myślę?
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 19:58 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Egzamin z analizy, problem z całkami

Post autor: Crizz » 4 wrz 2011, o 14:13

Nie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}y^2}\), tylko \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}y^2+C\right)\cos x^2}\). Liczysz przecież taką całkę:
\(\displaystyle{ \int y\cos x^{2} \mbox{d}y}\)
a nie taką:
\(\displaystyle{ \int y\mbox{d}y}\)

\(\displaystyle{ \cos x^2}\) jest stałą, więc możesz ją wyciągnąć przed znak całki, ale nie możesz jej zgubić.

Teraz możesz doliczyć całkę oznaczoną (tę wewnętrzną).

Timbus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy

Egzamin z analizy, problem z całkami

Post autor: Timbus » 4 wrz 2011, o 14:27

Ok, to rozumiem. Czy następna całka będzie postaci: \(\displaystyle{ \int_{0}^{4} \left( -\sin x ^{2} \cdot2x+C \right) \left( \frac{1}{2} y ^{2} +C\right)?}\)
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 19:59 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Egzamin z analizy, problem z całkami

Post autor: Crizz » 4 wrz 2011, o 14:37

\(\displaystyle{ \iint_D y\cos x^{2}=\int_0^4 \left( \int_0^{\sqrt{x}}y \cos x^2 \mbox{d}y \right) \mbox{d}x\\ \\ \int \cos x^2 \mbox{d}y =\cos x^2 \left( \frac{y^2}{2}+C \right) \\ \\ \int_0^4 \left( \int_0^{\sqrt{x}}y \cos x^2 \mbox{d}y \right) \mbox{d}x=\int_0^4 \left(\cos x^2 \cdot \left \left( \frac{y^2}{2}+C \right) \right|_0^{\sqrt{x}}\right) \mbox{d}x=?}\)

Timbus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy

Egzamin z analizy, problem z całkami

Post autor: Timbus » 4 wrz 2011, o 14:50

\(\displaystyle{ \int_{0}^{4} \left( \cos x ^{2} \cdot \left( \frac{x}{2} +c \right) \right)\,\text dx}\).

Przepraszam że tak ciężko to idzie...nie denerwuj się tylko i nie uciekaj bo bardzo mi pomagasz.
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 20:00 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Egzamin z analizy, problem z całkami

Post autor: Crizz » 4 wrz 2011, o 15:05

Prawie, bo tu: \(\displaystyle{ \left \left( \frac{y^2}{2}+C \right) \right|_0^{\sqrt{x}}=\frac{x}{2}+\red C \black -\frac{0}{2}-\red C}\) stałe się skracają.

Timbus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy

Egzamin z analizy, problem z całkami

Post autor: Timbus » 4 wrz 2011, o 15:13

Czyli mam rozumieć że będzie to wyglądać: \(\displaystyle{ \int_{0}^{4} \left( \cos x ^{2} \cdot \left( \frac{x}{2} - \frac{0}{2} \right) \right)\,\text dx}\) ?
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 20:00 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Egzamin z analizy, problem z całkami

Post autor: Crizz » 4 wrz 2011, o 19:50

Tak, \(\displaystyle{ \int_{0}^{4} \cos x ^{2} \cdot \frac{x}{2}\mbox{d}x}\).

Timbus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy

Egzamin z analizy, problem z całkami

Post autor: Timbus » 4 wrz 2011, o 20:04

ok i teraz wystarczy podstawić pod x i koniec. A skąd wzięło się tam to \(\displaystyle{ \frac{0}{2}}\) bo nie mogę dojść? a i czy mógł byś podstawić jeszcze i podać wynik? Był bym pewien że się nie pomyliłem.

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Egzamin z analizy, problem z całkami

Post autor: Crizz » 4 wrz 2011, o 20:55

Z wewnętrznej całki: \(\displaystyle{ \int_0^{\sqrt{x}}y \cos x^2 \mbox{d}y}\).

Liczysz najpierw całkę nieoznaczoną: \(\displaystyle{ \int y \cos x^2 \mbox{d}y =\cos x^2 \left( \frac{y^2}{2}+C \right)}\), a potem oznaczoną: \(\displaystyle{ \int_0^{\sqrt{x}}y \cos x^2 \mbox{d}y=\cos x^2 \left( \frac{(\sqrt{x})^2}{2}+C \right)-\cos x^2 \left( \frac{0^2}{2}+C \right)}\).

Końcowy wynik to \(\displaystyle{ \frac{\sin 16}{4}}\).

Timbus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy

Egzamin z analizy, problem z całkami

Post autor: Timbus » 5 wrz 2011, o 09:49

A mógł byś mi powiedzieć ile wynosi całka z \(\displaystyle{ cosx ^{2}}\)? Bo ze zwykłego cosx to jest sinx + C a tutaj nie wiem.

A i czy całka z \(\displaystyle{ \frac{x}{2}dx}\) to będzie \(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2} x ^{2} }{2} + C ?}\)

ODPOWIEDZ