Matematyka.pl

Obliczyć całkę, której obszar jest bryłą ograniczoną powierzchniami:


\(\displaystyle{ \iiint \frac{dx dy dz}{ \sqrt{4x ^{2} + 4y ^{2} +3z ^{2} } }}\)
Powierzchnie:
\(\displaystyle{ z=0 \\
z= \sqrt{4-x ^{2}-y ^{2} } \\
z= \sqrt{9-x ^{2}-y ^{2} }}\)
Po użyciu współrzędnych sferycznych z pierwszej powierzchni dostaję:
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} \le \Phi \le \frac{3 \pi}{2}}\)
zaś z dwóch pozostałych: \(\displaystyle{ 2 \le r \le 3}\)

Zaś sama całka zamienia się w:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \left( \int_{ \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{3 \pi }{2} } \left( \int_{2}^{3} \frac{r ^{2} sin \Phi}{r \sqrt{sin^{2} \left( \Phi \right) +3} } dr \right) d\Phi \right) d \phi}\)

Jeżeli to jest dobrze to zmusza mnie to do policzenia takiej całki:
\(\displaystyle{ \int \frac{sin \Phi }{ \sqrt{sin^{2}\Phi +3 } } d\Phi}\)

A tego <usunięto> nie daję rady zrobić ręcznie. Czy to jest dobrze?

Nie wygląda to dobrze. Skąd takie granice dla \(\displaystyle{ \Phi}\)? A co myślisz o wsp. cylindrycznych i liczeniu tego jako różnicy dwóch całek?

A czy mógłbyś mi pokazać jak wygląda to liczenie różnicy dwóch całek, bo to nie pierwsze zadanie, które sprawia mi ten problem i zapewne sposób o którym mówisz jest rozwiązaniem tego problemu.

Wycofuję się z tego pomysłu. Wracam do wsp. sferycznych.

\(\displaystyle{ \iiint \frac{dx dy dz}{ \sqrt{4x ^{2} + 4y ^{2} +3z ^{2} } }= \int_{0}^{2 \pi} \left ( \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \left ( \int_{2}^{3} \frac{r^{2} \sin \theta\mbox {d}r}{ \sqrt{4 \cdot r ^{2} \cdot \sin ^{2} \theta +3 \cdot r ^{2} \cdot \cos ^{2} \theta} } \right ) \mbox{d} \theta \right )\mbox{d} \varphi = \int_{0}^{2 \pi} \left ( \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \left ( \int_{2}^{3} \frac{r \cdot \sin \theta\mbox {d}r}{ \sqrt{4 - \cos ^{2} \theta} } } \right ) \mbox{d} \theta \right )\mbox{d} \varphi}\)

To teraz ja się zapytam skąd się wzięła granica dla \(\displaystyle{ \Phi}\). ;D
Tak to samo "wnętrze" całki się nie zmieniło i nadal nie wiem jak to policzyć.

Granica dla \(\displaystyle{ \Phi}\) czy heta bierze się stąd, że całkujemy po górnych połowach kul. Całkowanie po całej kuli dałoby nam granicę od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \pi}\)

nadal nie wiem jak to policzyć

Rozumiem, że chodzi Ci o całkowanie po \(\displaystyle{ \theta}\). Podstawienie:
\(\displaystyle{ \cos \theta = 2p \\
\sin \theta \mbox{d} \theta = - 2 \mbox {d} p}\)
powinno pomóc

ewentualnie:
\(\displaystyle{ \cos \theta = 2 \sin \alpha \\
\sin \theta \mbox{d} \theta = -2 \cos \alpha \mbox {d} \alpha}\)

Dzięki twojej podpowiedzi udało mi się policzyć tę całkę. Jednak nadal się zastanawiam nad tą granicą \(\displaystyle{ \theta}\) Według wiki całkując po całej kuli mielibyśmy od 0 do \(\displaystyle{ 2 \pi}\). Czy więc nie jest tak jak zaznaczyłem na tym rysunku: ? A jeżeli tak nie jest to dlaczego?

Mamy dwa kąty: \(\displaystyle{ 2 \pi}\) w 'poziomie' i \(\displaystyle{ \pi}\) w 'pionie' (dla całej kuli)

Wielkie dzięki :]