Witam, mam takie zadanko
Mam pole wektorowe
\(\displaystyle{ \vec{F}= \left[ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}; \frac{2}{y} - \frac{x}{y ^{2} } \right]}\)
i mam obliczyć pracę po drodze łączącej punkty \(\displaystyle{ A\left( 1,1\right)}\) i \(\displaystyle{ B\left( 2,2\right)}\)
Nie mieliśmy tego na zajęciach i nie wiem jak to policzyć.
Nie wiem czy dobry dział, jeśli nie to proszę moda o przeniesienie.
Praca po drodze łączącej punkty
-
szw1710
Praca po drodze łączącej punkty
Musisz najpierw sprawdzić warunek potencjalności pola. Jeśli \(\displaystyle{ F=[P,Q]}\), to warunkiem tym jest \(\displaystyle{ Q'_x=P'_y.}\) Trzeba tak zrobić, gdyż droga całkowania nie jest jasno określona. Trzeba dodatkowo założyć, że na drodze całkowania nie leżą punkty osi układu (zera mianowników).
Z warunku potencjalności (jeśli zachodzi) wnosimy niezależność całki od drogi całkowania. Całka zależy więc tylko od punktów końcowych.
Całkę można policzyć metodą potencjałową lub "normalnie", przyjmując za drogę całkowania odcinek \(\displaystyle{ AB.}\) Potencjał łatwo znaleźć z definicji. To taka funkcja \(\displaystyle{ V(x,y)}\), że \(\displaystyle{ V'_x=P}\) oraz \(\displaystyle{ V'_y=Q.}\) Obliczenia sobie daruję, powiem tylko, że tutaj \(\displaystyle{ V(x,y)=\ln x+2\ln y+\frac{x}{y}}\) (sprawdź!). Korzystamy teraz ze wzoru:
\(\displaystyle{ W=\int_{AB}Pdx+Qdy=V(B)-V(A)=V(2,2)-V(1,1)=\dots}\)
Z warunku potencjalności (jeśli zachodzi) wnosimy niezależność całki od drogi całkowania. Całka zależy więc tylko od punktów końcowych.
Całkę można policzyć metodą potencjałową lub "normalnie", przyjmując za drogę całkowania odcinek \(\displaystyle{ AB.}\) Potencjał łatwo znaleźć z definicji. To taka funkcja \(\displaystyle{ V(x,y)}\), że \(\displaystyle{ V'_x=P}\) oraz \(\displaystyle{ V'_y=Q.}\) Obliczenia sobie daruję, powiem tylko, że tutaj \(\displaystyle{ V(x,y)=\ln x+2\ln y+\frac{x}{y}}\) (sprawdź!). Korzystamy teraz ze wzoru:
\(\displaystyle{ W=\int_{AB}Pdx+Qdy=V(B)-V(A)=V(2,2)-V(1,1)=\dots}\)