Matematyka.pl

Obliczyć objętość bryły
\(\displaystyle{ \{(x,y,z): x^2+y^2 \le z \le A\}}\)
w zależności od parametru dodatniego \(\displaystyle{ A}\).

Czy można to zadanie tak rozwiązać?

Wzór na objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wykresu funkcji \(\displaystyle{ z=f(x)}\) wokół osi \(\displaystyle{ Oz}\) to \(\displaystyle{ V=2\pi \int_{0}^{\sqrt{A}}xf(x) \mbox{d}x}\).
U nas \(\displaystyle{ z=x^2}\) zatem: \(\displaystyle{ V=2\pi \int_{0}^{\sqrt{A}}x^3\mbox{d}x = \frac{1}{2}A^2\pi}\).

To nie jest wzór na objętość bryły obrotowej. Nie jest to nawet wzór na pole powierzchni takiej bryły. Zapoznaj się teorią zanim zaczniesz rozwiązywać zadania. Zastosuj całkę potrójną oraz współrzędne walcowe, wtedy znacznie szybciej uzyskasz wynik.

Widzę już gdzie mam błąd. Wzór jest dobry tylko dla brył powstałych z obrotu obszaru "pod krzywą" a w moim zadaniu mam obliczyć objętość wnętrza paraboloidy obrotowej, czyli od objętości walca o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{A}}\) i wysokości \(\displaystyle{ A}\) muszę odjąć wynik powyżej.

Powiedziałem już że ten wzór nie służy do obliczania ani objętości ani pola powierzchni. W szczególności to zdanie

Wzór jest dobry tylko dla brył powstałych z obrotu obszaru "pod krzywą" a w moim zadaniu mam obliczyć objętość wnętrza paraboloidy obrotowej

nie jest poprawne. Podany wzór służy do obliczania między innymi momentów statycznych w fizyce oraz wartości oczekiwanej w statystyce. Nie utrudniaj sobie i zastosuj całkę potrójną.

A ja Ci powiem tyle, że jak najbardziej służy, w końcu jest to jeden ze sposobów, który nam podał wykładowca, a podobne zdanie, które zacytowałeś, napisał już kiedyś pewien korepetytor na tym forum, udzielając wskazówki innej osobie, więc jak widać, nie jest to tylko mój wymysł.

Wyprowadziłem ten wzór, czyli masz rację. Jak widać, świeże spojrzenie studentki nieraz okazuje się bardziej konstruktywne niż moje rutynowe wnioskowanie. Nadal uważam wykorzystanie całki potrójnej za mniej skomplikowane, niemniej jednak obie metody są poprawne. Poniżej przedstawię wyprowadzenie. Korzystając z interpretacji geometrycznej całki Stieltjesa, objętość bryły otrzymanej przez obrót krzywej \(\displaystyle{ z=f(x)}\) dla \(\displaystyle{ 0\le x\le a}\) można wyrazić następująco

\(\displaystyle{ V=\pi\int\limits^a_0x^2\,\text df(x)}\)

przy odpowiednich założeniach dotyczących ciągłości i różniczkowalności funkcji wzór przyjmie postać

\(\displaystyle{ V=\pi\int\limits^a_0x^2f'(x)\,\text dx\\ \\V=\pi\left(x^2f(x)\bigg|^a_0-2\int\limits^a_0xf(x)\,\text dx\right)}\)

po dalszych przekształceniach nietrudno dojść do wniosku, że zacytowane przeze mnie zdanie jest poprawne.