Objętość brył ograniczonych powierzchniami
: 30 sie 2011, o 14:46
1. \(\displaystyle{ z=4-x ^{2} -y ^{2}, 2z=2+x ^{2} +y ^{2}}\)
Są to dwie paraboloidy obrotowe zwrócone w przeciwne strony. Krzywą ich przecięcia będzie okrąg o równaniu \(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} =2}\) i będzie on obszarem całkowania \(\displaystyle{ D}\).
Objętość bryły ograniczonej tymi parabolidami będzie równa : \(\displaystyle{ V= \iint_{D} \left( 4-x ^{2} -y ^{2} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y - \iint_{D} \left( 1+ \frac{x ^{2}}{2} +\frac{y ^{2}}{2} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
2.\(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =4a ^{2}, x ^{2} +y ^{2} -2ay=0}\)
Mamy tutaj sfere o promieniu \(\displaystyle{ 2a}\) oraz walec zwykły przesunięty o \(\displaystyle{ a}\) wzdłuż osi \(\displaystyle{ OY}\). Obszarem całkowania będzie okrąg o równaniu\(\displaystyle{ x ^{2} +(y-a) ^{2} =a ^{2}}\).
Ze względu na symetrie objętość będzie równa:\(\displaystyle{ V=2\iint_{D} \sqrt{4a ^{2} -x ^{2} -y ^{2} } \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
Bardzo proszę o sprawdzenie poprawności rozumowania, gdyż nie mam odpowiedzi do tych zadań.
Są to dwie paraboloidy obrotowe zwrócone w przeciwne strony. Krzywą ich przecięcia będzie okrąg o równaniu \(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} =2}\) i będzie on obszarem całkowania \(\displaystyle{ D}\).
Objętość bryły ograniczonej tymi parabolidami będzie równa : \(\displaystyle{ V= \iint_{D} \left( 4-x ^{2} -y ^{2} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y - \iint_{D} \left( 1+ \frac{x ^{2}}{2} +\frac{y ^{2}}{2} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
2.\(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =4a ^{2}, x ^{2} +y ^{2} -2ay=0}\)
Mamy tutaj sfere o promieniu \(\displaystyle{ 2a}\) oraz walec zwykły przesunięty o \(\displaystyle{ a}\) wzdłuż osi \(\displaystyle{ OY}\). Obszarem całkowania będzie okrąg o równaniu\(\displaystyle{ x ^{2} +(y-a) ^{2} =a ^{2}}\).
Ze względu na symetrie objętość będzie równa:\(\displaystyle{ V=2\iint_{D} \sqrt{4a ^{2} -x ^{2} -y ^{2} } \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
Bardzo proszę o sprawdzenie poprawności rozumowania, gdyż nie mam odpowiedzi do tych zadań.