Całka, logarytm naturalny i stała C- wyjaśnienie

[gilus0022]

Prosty przykład, który często się pojawia także w równaniach różniczkowych.

\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}y}{y} = \int -\mbox{d}x \\ \\ \ln \left| y\right| = -x+C \\ \\
y= Ce^{-x}}\)

Tak to rozwiązuje, ale do końca nie wiem dlaczego na końcu nie jest tak:

\(\displaystyle{ y= e^{-x}+C}\)

Z góry dzięki za wyjaśnienie

[Qń]

\(\displaystyle{ \ln \left| y\right| = -x+C}\)
Przykładamy funkcję \(\displaystyle{ e^t}\) do obu stron:
\(\displaystyle{ e^{\ln \left| y\right|} = e^{-x+C} \\
| y| = e^C\cdot e^{-x}\\
y =\pm e^C\cdot e^{-x}}\)
I teraz podstawiamy \(\displaystyle{ c=\pm e^C}\) (nowa stała), otrzymując:
\(\displaystyle{ y=ce^{-x}}\)
(zwyczajowo nową stałą możemy też oznaczyć tak samo jak starą, bo to wszystko jedno)

Q.

[bartek118]

W ogóle to na końcu powinno być \(\displaystyle{ y= e^{-x+C}}\)

Ale robi się takie coś:

\(\displaystyle{ y= e^{-x+C} = e^{C}\cdot e^{-x}}\)

\(\displaystyle{ C:=e^{C}}\)

\(\displaystyle{ y=Ce^{-x}}\)

[Smarki]

Powinno być:
\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}y}{y} = \int -\mbox{d}x \\ \\ \ln \left| y\right| = -x+ C \\
\\ \ln \left| y\right| = -x+\ln \left| C\right| \\ \\
\ln \left| \frac{y}{C} \right| = -x \\
\frac{y}{C} = e^{-x} \\
y=Ce^{-x}}\)

Źródło: plik SIMR_WRR_02_2013.pdf strona 18. Trzeba go sobie wyguglać.

[yorgin]

Tylko nie wiem dlaczego po scałkowaniu stała C jest w logarytmie.
Źródło: plik SIMR_WRR_02_2013.pdf strona 18. Trzeba go sobie wyguglać.

To się nazywa wzór na różnicę logarytmów.

Wszyscy poprzednicy oczywiście mają rację, jednak zapomnieli o jednym. Pisząc

\(\displaystyle{ y=Ce^{-x}}\)

nie można napisać \(\displaystyle{ C\in \RR}\) po przeprowadzeniu wcześniejszych rozumowań. Jeśli funkcja \(\displaystyle{ y\equiv 0}\) jest rozwiązaniem równania różniczkowego, dopiero teraz można napisać, że dla \(\displaystyle{ C=0}\) mamy \(\displaystyle{ y(x)=0}\) i jest to rozwiązanie, a więc pełna rodzina rozwiązań to

\(\displaystyle{ y=Ce^{-x}, \qquad C\in \RR}\).