całka po krzywej Vivaniego

[Chromosom]

Nie. Zapoznaj się z definicją zanim zaczniesz obliczać całki. Zamiana całki krzywoliniowej na oznaczoną wymaga pomnożenia przez \(\displaystyle{ y^\prime(t)}\) (nie \(\displaystyle{ y(t)}\))

[patricia__88]

\(\displaystyle{ \int_{K}w= \int_{K}z^2dy= \int_{0}^{2 \pi}a^2 \sin \frac{1}{4}t \frac{a}{2} \cos tdt= \frac{a^3}{2} \int_{0}^{2 \pi} \sin \frac{1}{4}t \cos tdt}\)
Nie wiem co z tym dalej zrobic

[Chromosom]

Po pierwsze, powiedziałem że granice całkowania są inne. Po drugie, pokaż dokładniejsze obliczenia, bo \(\displaystyle{ \sin\left(\frac14t\right)}\) zdecydowanie nie ma prawa w tej całce występować.

[patricia__88]

Czyli granice mają być \(\displaystyle{ (2 \pi,4 \pi]}\)? Nie rozumiem jednak dlaczego skoro ja w rozwiązaniu mam \(\displaystyle{ [0,2 \pi]}\)... a co do samej całki to zgadza się będzie \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{4}t}\), bo podnosimy \(\displaystyle{ z}\) do kwadratu.

[Chromosom]

Nie rozumiem jednak dlaczego skoro ja w rozwiązaniu mam \(\displaystyle{ [0,2 \pi]}\)

Powinno być \(\displaystyle{ t\in[0,\,2\pi]}\). Wcześniej nie zauważyłem warunku \(\displaystyle{ z\ge0}\)

co do samej całki to zgadza się będzie \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{4}t}\), bo podnosimy \(\displaystyle{ z}\) do kwadratu.

Nie wiem dlaczego stosujesz takie przekształcenie. Nie jest ono poprawne. Uzasadnij jego użycie.

[patricia__88]

\(\displaystyle{ \int_{K}w= \int_{K}z^2dy= \int_{0}^{2 \pi} z^2(y')dy= \int_{0}^{2 \pi} \left(a \sin \frac{1}{2}t \right) ^2 \frac{a}{2} \cos t dt= \int_{0}^{2 \pi}a^2 \sin \frac{1}{4}t \frac{a}{2} \cos tdt= \frac{a^3}{2} \int_{0}^{2 \pi} \sin \frac{1}{4}t \cos tdt}\)

[Chromosom]

\(\displaystyle{ \left(\sin\frac t2\right)^2\neq\sin\frac t4}\)

w ogólności

\(\displaystyle{ (\sin x)^2\neq\sin\left(x^2\right)}\)

powtórz materiał z liceum oraz z pierwszego roku studiów; w szczególności własności funkcji trygonometrycznych oraz obliczanie całek z takich z funkcji.