całka po krzywej Vivaniego

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: patricia__88 »

a skąd takie równanie się wzięło? Nie wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) do równania kuli, żeby wyliczyć \(\displaystyle{ z}\)?
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: Chromosom »

patricia__88 pisze:Nie wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) do równania kuli, żeby wyliczyć \(\displaystyle{ z}\)?
należy podstawić równania parametryczne \(\displaystyle{ x(t),\ y(t)}\)
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: patricia__88 »

\(\displaystyle{ z(t)=a \sqrt{ \frac{1}{2}- \frac{1}{2} \cos t}}\)
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: Chromosom »

zgadza się, uprość teraz to wyrażenie
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: patricia__88 »

\(\displaystyle{ z(t)=a \sqrt{ \frac{1}{2} \left(1- \cos t \right)}}\)
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: Chromosom »

zgadza się, ale to jeszcze nie jest końcowa postać; zastosuj tożsamości trygonometryczne
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: patricia__88 »

\(\displaystyle{ z(t)=a \sin \frac{1}{2}x}\)
Znalazłam tylko coś takiego, a to chodziło?
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: Chromosom »

tak
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: patricia__88 »

W takim razie jak interpretować to:Znajdź parametryzację krzywej K przebieganej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara dla obserwatora umieszczonego na osi \(\displaystyle{ x}\) dla \(\displaystyle{ x>a}\).
Czy to ma wogóle jakieś znaczenie w jakim kierunku przebiega parametryzacja? Bo nie rozumiem tego polecenia.
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: Chromosom »

Zgadza się, ma znaczenie. Sprawdź w którym kierunku ta krzywa jest obiegana w przypadku tej parametryzacji
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: patricia__88 »

No ok przejdźmy teraz do całki
\(\displaystyle{ \int_{K}w=z^2dy}\)
Jakie będą granice całkowania?

-- 26 sie 2011, o 22:45 --

\(\displaystyle{ (0,2 \pi)}\)?
Ostatnio zmieniony 26 sie 2011, o 21:50 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: \pi, nie \Pi
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: Chromosom »

Nie. Cały okrąg jest obiegany przy \(\displaystyle{ t\in[0,2\pi]}\), i wtedy \(\displaystyle{ z}\) przyjmuje dodatnie wartości. Dla \(\displaystyle{ t\in(2\pi,4\pi]}\) okrąg jest obiegany ponownie, ale \(\displaystyle{ z}\) przyjmuje ujemne wartości. Popraw zatem granice całkowania.
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: patricia__88 »

tak mam w rozwiązaniu \(\displaystyle{ (0, 2 \pi)}\) chociaż ja myślę, że powinno być \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{ \pi}{2} \right)}\)
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: Chromosom »

Nie, wtedy uwzględniłabyś tylko niewielką część tej krzywej. Podane przeze mnie granice są poprawne.
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

całka po krzywej Vivaniego

Post autor: patricia__88 »

\(\displaystyle{ \int_{K}w= \int_{K}z^2dy=}\)
Nie rozumiem dlaczego tutaj nie wystarczy podstawić nasze \(\displaystyle{ z(t)}\) do całki, tylko musimy jeszcze pomnożyć przez \(\displaystyle{ y}\)
ODPOWIEDZ