całka potrójna - kula

[kielbasa]

Witam

Problem mam z następującą całką :

\(\displaystyle{ \iiint\limits_V \sqrt{x^{2} +y^{2} + z^{2}} \mbox{d}x \mbox{d}y \mbox{d}z}\) , gdzie bryła \(\displaystyle{ V}\) ograniczona jest powierzchnią \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=z}\)

Podejrzewam że trzeba przenieść zmienną \(\displaystyle{ z}\) na lewą stronę równania i zwinąć w wzór skróconego mnożenia i powinien powstać jakiś promień.
Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego problemu. Z góry dzięki za pomoc.

[miodzio1988]

Podejrzewam że trzeba przenieść zmienną z na lewą stronę równania i zwinąć w wzór skróconego mnożenia i powinien powstać jakiś promień.

zgadza się. Tylko przy wprowadzaniu nowych współrzędnych nie przesuwaj tych współrzędnych

[Qń]

Bryła \(\displaystyle{ V}\) to kula \(\displaystyle{ x^2+y^2+\left( z-\frac 12\right) ^2\le \left( \frac 12\right)^2}\).
Wystarczy więc przejść na współrzędne sferyczne.

Q.

[kielbasa]

"miodzio1988" co masz na myśli pisząc o nie przesuwaniu tych współrzędnych ?

[miodzio1988]

Najczęściej jak masz takie przesunięte kule , koła to przesuwasz współrzędne.

Np takie koło:

\(\displaystyle{ x ^{2}+ ( y -1)^{2} \le 4}\)

Wtedy współrzędne biegunowe zapisać możemy tak:

\(\displaystyle{ x=r \cos a}\)

\(\displaystyle{ y=r \sin a +1}\)

Widzisz przesunięcie o jedynkę? No to takiego czegoś masz u siebie nie robić

[Qń]

Chodzi o to, żeby przechodząc na współrzędne sferyczne, podstawić \(\displaystyle{ z=r\cos \theta}\), a nie \(\displaystyle{ z-\frac 12= r\cos\theta}\), choć pozornie to drugie podstawienie wydawałoby się lepsze, bo daje prostsze granice całkowania. Ale najczęściej takie podstawienie daje trudniejsze całki.

Q.

[kielbasa]

Czy takie granice całkowania są poprawne ?
\(\displaystyle{ 0 \le r \le \frac{1}{2} \\ 0 \le \phi \le 2 \pi \\ 0 \le \theta \le \pi}\)

dla współrzędnych sferycznych :

\(\displaystyle{ x==r\, \sin\theta \, \cos\phi \\
y=r\, \sin\theta \, \sin\phi \\
z=r\, \cos\theta}\)

[Qń]

Nie, takie granice oznaczają kulę o środku w \(\displaystyle{ (0,0,0)}\), a Twoja kula ma środek gdzie indziej.

Q.

[kielbasa]

Moja kula ma środek w \(\displaystyle{ \left( 0,0, \frac{1}{2} \right)}\) .... współrzędne \(\displaystyle{ r}\) oraz \(\displaystyle{ \phi}\) są prawidłowo wyznaczone ?-- 24 sie 2011, o 13:46 --\(\displaystyle{ \theta}\) muszę wyznaczyć z jakiejś funkcji trygonometrycznej ? Czy \(\displaystyle{ 0 \le \theta \le r}\) jest prawidłowo ?

[Qń]

Spróbuj narysować sobie (albo wyobrazić) taką kulę i określić w jakich przedziałach mogą zmieniać się oba kąty. Jak już to zrobisz, to wstaw nowe współrzędne do nierówności określającej kulę - otrzymasz stąd granice w jakich zmienia się promień (zależne od jednego z kątów).

Q.

[kielbasa]

ok. mam (powinny być dobre)

\(\displaystyle{ 0 \le r \le \cos \theta \\ 0 \le \phi \le 2 \pi \\ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}}\)

[Qń]

Teraz jest ok.

Q.

[kielbasa]

wynik też się zgadza : \(\displaystyle{ \frac{\pi}{10}}\) ... chętnym zostawiam do rozwiązania. Dzięki za pomoc !