Objętość bryły ograniczonej paraboloidą obrotową

[[pawciu]]

Bryła ograniczona jest przez \(\displaystyle{ z=x ^{2}+ y ^{2} , z=4, z=16}\)
Wykombinowałem coś takiego: Objętość tej bryły będzie równa całce podwójnej po okręgu o promieniu 4 \(\displaystyle{ \iint_{D}(16 -x ^{2}- y ^{2})dxdy}\) minus całka po okręgu o promieniu 2 \(\displaystyle{ \iint_{D}(4 -x ^{2}- y ^{2})dxdy}\). Czy jest ok ? Czy mozna to obliczyc za pomocą jednej całki ??

[Arch_Stanton]

Pod całką chyba będzie \(\displaystyle{ z = x^2 + y^2}\), a obszar po którym całkujesz to rozwiązanie równań:
\(\displaystyle{ z = x^2 + y^2 \\ z = 4 \\ z = 16}\)

czyli:
\(\displaystyle{ V = \iint \limits _{D_{1}} (x^2 + y^2) \mbox{d}x \mbox{d}y - \iint \limits _{D_{2}} (x^2 + y^2) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

\(\displaystyle{ D_{1} = \left\{ - \sqrt{16-x^2} < y < \sqrt{16-x^2}; -4 < x < 4\right\}}\)
\(\displaystyle{ D_{2} = \left\{ - \sqrt{4-x^2} < y < \sqrt{4-x^2}; -2 < x < 2\right\}}\)

[aalmond]

Czy jest ok ?

Jest OK.

Czy mozna to obliczyc za pomocą jednej całki ??

Można. Jak objętość bryły obrotowej.

[[pawciu]]

Twój układ równań jest przecież sprzeczny

-- 22 sie 2011, o 21:14 --

Dzięki za pomoc-- 22 sie 2011, o 21:19 --Arch_Stanton z Twoich całek otrzymam objetosc pod wykresem parabolidy, mi chodzi o bryłę która zawiera się w jej wnętrzu

[Arch_Stanton]

no tak, w takim razie objętość walca minus objętość, która mi wyszła: \(\displaystyle{ \pi r^2 H - V}\)
\(\displaystyle{ r^2 = 16}\)
\(\displaystyle{ H = 16-4}\)