Matematyka.pl

Praktyka się przydaje bardzo. Najczęściej chcemy różniczkować wielomiany

Patrząc na niektóre zadania nie mam pojęcia czy one są dobrze czy ja za tępy ...

\(\displaystyle{ \int \left \ln \left(x ^{2} + 1 \right) \mbox{d}x = u \rightarrow 1, u' \rightarrow x, v \rightarrow \ln \left( x ^{2} + 1\right), v' \rightarrow \frac{2x}{x ^{2} + 1}}\)


Jakie jest u to rozumiem, ale dlaczego tyle wynosi v'? Czy v' i v nie powinny być na odwrót?
Pomieszane to wszystko ....

\(\displaystyle{ \int u \cdot \mbox{d}v=uv - \int v \cdot \mbox{d}u}\)

To jest wzór do całkowania przez części. Jak widać funkcja podcałkowa 'rozbita' jest na dwa czynniki. Jeden całkujemy, a drugi różniczkujemy.

W Twoim ostatnim przykładzie \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ u'}\) powinny być zamienione miejscami:

\(\displaystyle{ u' = 1 \\
u = x}\)

1.\(\displaystyle{ \int \left \ln \left(x ^{2} + 1 \right) \mbox{d}x = u \rightarrow 1, u^\prime \rightarrow x, v \rightarrow \ln \left( x ^{2} + 1\right), v^\prime \rightarrow \frac{2x}{x ^{2} + 1}}\)


2.\(\displaystyle{ x ^{2} \ln x = u \rightarrow \ln x, u^\prime \rightarrow \frac{1}{x}, v \rightarrow \frac{x ^{3} }{3}, v^\prime \rightarrow x ^{2}}\)

Patrząc na dwa przykłady w 1. \(\displaystyle{ u}\) = wyrażenie pierwsze(1), 2. \(\displaystyle{ u}\) = wyrażenie drugie (\(\displaystyle{ \ln x}\)). Od czego to zależy, bo jak dla mnie to zgadywanie, albo przypasowywanie.

W dwoch przykladach rózniczkujemy logarytm. hmmm rzeczywiście zgadywanie

Zad. 1 tylko tak:

\(\displaystyle{ \int \left \ln \left(x ^{2} + 1 \right) \mbox{d}x = \begin{vmatrix} u' = 1 &v = \ln(x ^{2} +1)\\u = x &v' = \frac{2x}{x ^{2}+1 }}\end{vmatrix}= x \cdot \ln (x ^{2}+1)- \int \frac{2x ^{2} }{x ^{2} +1}\mbox{d}x}\)

Proponuję taki zapis, jak powyżej. Jest czytelniejszy.

W drugim łatwiej przecież różniczkować logarytm, niż go całkować.

jak dla mnie to zgadywanie

Nie używałbym tu słowa 'zgadywanie'. Jeżeli już, to: przewidywanie.

miodzio1988 pisze:W dwoch przykladach rózniczkujemy logarytm.

No dobra, ale raz jest to "u" a raz "v". Kiedy mam wiedzieć że to "u" a kiedy "v"??

Mogę powtórzyć to, co już napisałem:

\(\displaystyle{ \int u \cdot \mbox{d}v=uv - \int v \cdot \mbox{d}u}\)

To jest wzór do całkowania przez części. Jak widać funkcja podcałkowa 'rozbita' jest na dwa czynniki. Jeden całkujemy, a drugi różniczkujemy.

Rozumiesz ten wzór?

cappadonna, a jak będziesz miał takie całki
\(\displaystyle{ \int x\ln x \mbox{d}x}\)
oraz
\(\displaystyle{ \int \ln(x)\cdot x \mbox{d}x}\)
To będziesz je liczył różnie?

aalmond pisze:

Rozumiesz ten wzór?

Jakoś nie rozumiem, juz nie wiem co jest co

abc666-raczej nie

Jeszcze jeden przykład.

\(\displaystyle{ \int x ^{2} \cdot \sin x \mbox{d}x}\)

Mam iloczyn dwóch funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = g(x) \cdot h(x)=x ^{2} \cdot \sin x}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ g(x) = x ^{2} \\
h(x) = \sin x}\)

Całkuję przez części i zastanawiam się, co różniczkować, a co całkować. Jeżeli zacznę całkować \(\displaystyle{ g(x)}\), to do niczego nie dojdę. Tylko zwiększę stopień potęgi. Stąd wniosek:
Funkcja \(\displaystyle{ g(x)}\) do różniczkowania, a \(\displaystyle{ h(x)}\) do całkowania.

Pytanko odnośnie wyniku, czy może być?

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ x ^{2} }{\left( x ^{3} + 3\right) ^{2} }= \frac{1}{3} ln\left|\left( x ^{3} + 3 \right) ^2} \right|}\)