Matematyka.pl

\(\displaystyle{ z^{2} \le x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 9}\)
Mam problem z granicami całkowania gdy uzyje wspolrzednych sferycznych
\(\displaystyle{ x=r\cos \alpha \sin \beta \\
y=r\sin \alpha \sin \beta \\
z=r\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ r}\) bedzie sie zmienial od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 3}\). Ale nie wiem jak znalezc katy \(\displaystyle{ \alpha}\), czy będzie od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2 \pi}\) a \(\displaystyle{ \beta}\) od 0 do \(\displaystyle{ \pi}\) czyli tak jak jest podane we wspolrzednych sferycznych czy trzeba jeszcze na cos zwrocic uwage i ustalic to w inny sposob prosze o pomoc?

Wstaw podstawienia do nierówności i rozwiąż je.

Podstawilem do pierwszego rownania i wyliczylem \(\displaystyle{ \alpha}\) ale nie wiem jak policzyc drugi kat bo po podstawieniu redukuje mi sie. A po podstawieniu do drugiego wyliczlem r. A moze da sie to jakos z rysunku odczytac?

Popraw.

\(\displaystyle{ z = r\cos \beta}\)

W jakich granicach zmienia się \(\displaystyle{ z}\)?

z zmienia sie od \(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}+y^{2}}}\) do \(\displaystyle{ \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}\). O to chodzilo?

\(\displaystyle{ x ^{2} + y^{2} = z^{2} \\
2 \cdot z^{2} = 9}\)
itd.