Matematyka.pl

Czy jest prawdą, że:
a) \(\displaystyle{ \int_{0}^{11} e^{x^{2}} \mbox{d}x > e^{100}}\)
b) \(\displaystyle{ \int_{0}^{100} \arc\tg x \mbox{d}x > 200}\)
c) \(\displaystyle{ \int_{e}^{ \pi } \ln x \mbox{d}x > 2}\)
d) \(\displaystyle{ \int_{2}^{4} x^{\frac{1}{x}} \mbox{d}x > \sqrt3}\) ?

z czego tutaj korzystac? jakies twierdzenie pozwalajace szybko to oszacowac? bo obliczac nie ma sensu, zwlaszcza ze nie kazda calke sie da. prosze o pomoc.

Patrz się na przedział całkowania jaki masz

co mi po samej dlugosci przedzialu jak nie moge scalkowac funkcji>?
jakies twierdzenie mam wykorzystac? jak to ugryzc, moze ktos mi pomoze chociaz w jednym przykladzie

co mi po samej dlugosci przedzialu jak nie moge scalkowac funkcji>?

A kto coś mówił o długości przedziału?

odpowiadajac sobie pytaniem na pytanie, na pewno cos się wyjaśni;/

Co jeszcze daje nam ten przedział? Tylko długość?

withdrawn pisze:co mi po samej dlugosci przedzialu jak nie moge scalkowac funkcji>?

W niektórych to możesz skorzystać z tw. o wartości średniej i wtedy długość przedziału się przydaje

ad a)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{11} e^{x^{2}} \mbox{d}x = \left( \int_0^{10} + \int_{10}^{11} \right) e^{x^2} \; \mbox d x > \int_0^{10} e^{x^2} \; \mbox d x + (11-10) \cdot e^{100}> e^{100}}\)

ad b)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{100} \arc\tg x \,\mbox{d}x < 100 \cdot \arctan (+\infty) = 50 \pi \not>200}\)

ad c)
\(\displaystyle{ \int_{e}^{ \pi } \ln x \,\mbox{d}x < (\pi - e) \ln \pi < \tfrac{1}{2} \left( \ln 2 + \ln e \right) < \tfrac{1}{2} \left( 1 + 1\right) = 1 \not> 2}\)

ad d)
\(\displaystyle{ \int_{2}^{4} x^{\frac{1}{x}} \, \mbox{d}x > (4-2) \sqrt{2} > \sqrt{3}}\)

Dziękuję Ci bardzo.
Rozumiem,że tutaj korzystasz w dużej mierze z tego twierdzenia o wartości średniej?:)

\(\displaystyle{ (b-a) m \le \int_a^b f \le (b-a) M}\), gdzie \(\displaystyle{ M, m}\) to największa, najmniejsza wartość \(\displaystyle{ f}\) na odpowiednim zbiorze.