granica całki z sinusem

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

granica całki z sinusem

Post autor: BlueSky »

W jaki sposób obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }\sin^n x dx}\)?
miodzio1988

granica całki z sinusem

Post autor: miodzio1988 »

Czy znasz jakieś twierdzenie, które nam pozwoli wejść z granicą pod całkę?
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

granica całki z sinusem

Post autor: BlueSky »

Jedyne co mi przychodzi do głowy to coś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }\sin^n x dx=\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }\lim_{ n\to \infty} \sin^n x dx}\) i mam przeczucie, że to daje 0, ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sin^n x =0}\), jednak tak do końca nie wiem, dlaczego ta ostatnia granica tyle wynosi.
miodzio1988

granica całki z sinusem

Post autor: miodzio1988 »

No to fatalnie. To powinnaś wrócić do podstaw. Wszak, granice to pierwsze tematy na pierwszym roku studiów....

Druga rzecz. Dlaczego możemy wejść z granicą pod całkę?>
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

granica całki z sinusem

Post autor: BlueSky »

O zbieżność jednostajną chodzi?
Z tą granicą jedynie mi to przychodzi do głowy: Jeśli \(\displaystyle{ |a|<1}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a^n=0}\). Ale funkcja sinus może przyjąć wartość 1 lub -1, więc nie wiem, czy jest to odpowiednie twierdzenie.
miodzio1988

granica całki z sinusem

Post autor: miodzio1988 »

O zbieżność jednostajną chodzi?
Pokaż mi zatem odpowiednie twierdzenie.

A co się stanie jak sinus nasz będzie wynosił np \(\displaystyle{ 1}\) ?
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

granica całki z sinusem

Post autor: BlueSky »

Jeżeli mamy zbieżność jednostajną \(\displaystyle{ f_n(x)}\) to możemy przechodzić z granicą pod znak całki \(\displaystyle{ \int_a^b f_n(x)dx}\).

Nie rozumiem, o co Ci chodzi z tą 1.
miodzio1988

granica całki z sinusem

Post autor: miodzio1988 »

Sinus może przyjąć wartość jeden?

I dowód tego twierdzenia możesz mi przytoczyć?-- 10 sierpnia 2011, 12:15 --I tutaj nawet nie mamy zbieżności punktowej....sad
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

granica całki z sinusem

Post autor: BlueSky »

Powiem tak, jest jeszcze to: 79926.htm. Nie wnikajmy już w to przechodzenie z granicą pod całkę, bo teraz bardziej chciałabym się dowiedzieć, czy to, co napisałam o tej granicy z sinusa jest dobrze, a jeżeli tak, to dlaczego można zastosować to twierdzenie, które przytoczyłam, skoro sinus przyjmuje wartości 1 i -1.
miodzio1988

granica całki z sinusem

Post autor: miodzio1988 »

To twierdzenie, które przytoczyłaś chyba nie jest prawdziwe. To raz. Dwa, ten ciąg funkcyjny nie jest zbieżny punktowo nawet
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

granica całki z sinusem

Post autor: BlueSky »

Moje pomysły się wyczerpały. Zamieniam się w słuch, jak Ty byś to uzasadnił.
miodzio1988

granica całki z sinusem

Post autor: miodzio1988 »

A ja bejbe nie muszę tego uzasadniać. Nie moje to zadanie jest. Jeszcze raz się zapytam. Czy widzisz, ż ten ciąg funkcyjny nie jest zbieżny punktowo?
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

granica całki z sinusem

Post autor: BlueSky »

Ja też nie muszę tego w tym zadaniu uzasadniać, jedynie to zastosować.
Ten ciąg funkcyjny nie jest zbieżny punktowo, bo ciąg wartości dla każdego argumentu funkcji nie jest zbieżny, tak?
Dowiem się jak to jest z tą granicą, czy dobrze to zadanie rozwiązałam, tak jak napisałam, czy jest to jakaś tajemnica?
miodzio1988

granica całki z sinusem

Post autor: miodzio1988 »

źle rozwiązałaś. Powołujesz się na twierdzenie, którego założenia nie są spełnione przecież...
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

granica całki z sinusem

Post autor: BlueSky »

Dobra, jeżeli nie chcesz napisać mi wprost jak powinno być to zadanie rozwiązane (bo, może Cię to zdziwi, ale ten sposób pewnie bardziej by do mnie przemówił), to dziękuję bardzo za pomoc i poczekam na osobę, która byłaby tak miła i mi to zadanie rozwiązała, bez dopytywania się: a po co?, a na co?, a dlaczego?, a skąd? itd

Naprawdę miodzio, ja wiem, że na tym forum propaguje się naprowadzanie na rozwiązanie, a nie rozwiązywanie wprost zadań, ale są momenty, gdzie to pierwsze nie jest dobrym pomysłem i doprowadza tylko do zbędnego nabijania postów.
ODPOWIEDZ