Matematyka.pl

Jak obliczyć taką całkę : \(\displaystyle{ \int x^x dx}\)

Na pewno taką? Zapewne całka:

\(\displaystyle{ \int a^xdx}\)

byłaby za prosta

jest to przykład tzw. całki nieelementarnej

Chciałem się upewnić, czy da się to w ogóle obliczyć Jak pochodną z \(\displaystyle{ x^x}\) można obliczyć, to myślałem że całkę też

Nie, generalnie jest tak że wiele całek wyglądających prosto, nie da się wyznaczyć w postaci skończonej. Tz używając funkcji znanych ze szkoły czyli trygonometrycznych wykładniczych , wielomianowych homografii, funkcji do nich odwrotnych . i ich skończonych kombinacji. Oczywiście wiadomo że każda funkcja spełniająca odpowiednie warunki posiada funkcję pierwotną, ale nie mówi to nam nic o tym jak ją znaleźć. Jeśli chce się mieć jakiś przybliżony obraz funkcji pierwotnej takiej całki, to można rozwinąć ją w szereg Maclaurina i całkować wyraz po wyrazie. Oczywiście pojawiają się niuanse związane ze zbieżnością tego szeregu... No i nie zawsze można rozwinąć w szereg wokół zera.. Do znanych w środowisku tego typu całek należą całki eliptyczne oraz całki z funkcji \(\displaystyle{ x^{x} , \frac{\sin(x)}{x} , \frac{\cos(x)}{x}, e^{x^2}, e^{ \frac{1}{x} } , \sin(x^2)}\) , \(\displaystyle{ \sqrt{W(x)}}\) gdzie w(x) jest wielomianem stopnia chyba większego lub równego 3. Oczywiście chodzi o wielomian w ogólnej postaci, czasami jakieś szczególne przypadki da się scałkować. skąd wiadomo czy daną całkę da się policzyć czy nie ... Otóż podejrzewam że 95 % osób z tego forum po prostu dowiedziała się tego na wykładzie, i nie jest wstanie dać ci odpowiedzi na to jak sprawdzić czy całka z jakiejś funkcji wyraża się w postaci skończonej czy nie. Ja też nie potrafię, ale wiem że metoda zawarta jest w książce Ritta Integration in Finite Terms ;]

Po wprowadzeniu do powszechnie znanych kalkulatorów, które liczą całki, funkcji podanych przez Funktora, pisze, że albo nie można standardowymi metodami wyznaczyć takiej całki, albo kalkulator nie potrafi tego zrobić, albo podaje wynik dla niektórych przykładów, przy czym jest to funkcja nazwana umownie np. i .