Obliczyć całkę

[szymon1234513]

Mam mały problem, a pewnie ta całka jest banalna.

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x-1) ^{2} } \mbox{d}x}\)

Proszę o pomoc.

[Lbubsazob]

Chyba najprościej będzie rozłożyć to na ułamki proste...

[szymon1234513]

Nie wydaje mi się bo tą całkę uzyskałem rozbijając inną,a dokładniej tą:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x}{2x ^{2}-4x+2 }dx}\)

a jak próbuje na ułamki proste to współczynniki mi nie wychodzą

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{2x^2-4x+2} \mbox{d}x= \frac{1}{4}\int \frac{4x}{2x^2-4x+2} \mbox{d}x = \frac{1}{4} \int \left( \frac{4x-4+4}{2x^2-4x+2} \mbox{d}x\right) = \frac{1}{4} \int \frac{4x-4}{2x^2-4x+2} \mbox{d}x +\int \frac{1}{2x^2-4x+2} \mbox{d}x}\)

Czyli zostanie \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x-1)^2} \mbox{d}x}\), a nie \(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x-1)^2} \mbox{d}x}\), to już łatwo można obliczyć przez podstawienie.

[szymon1234513]

Chyba coś się nie zgadza bo za żadne skarby nie wyjdzie mi to co mam w odpowiedziach.

[Lbubsazob]

Przecież napisałam, że wychodzi \(\displaystyle{ \int \frac{\textcolor{red}{1}}{(x-1)^2} \mbox{d}x}\), a nie \(\displaystyle{ \int \frac{\textcolor{red}{x}}{(x-1)^2} \mbox{d}x}\), tak jak napisałeś w pierwszym poście.

Jakbyś miał całkę \(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x-1)^2} \mbox{d}x}\), to faktycznie trzeba ją rozłożyć na ułamki proste, a w wypadku \(\displaystyle{ \int \frac{1}{(x-1)^2} \mbox{d}x}\) wystarczy podstawić \(\displaystyle{ t=x-1}\).

EDYCJA:
Może napisz ile wychodzi w odpowiedziach, wtedy się coś wymyśli.

[szymon1234513]

\(\displaystyle{ \int \frac{13}{2}\ln|x-1|+ \frac{13}{2(x-1) }+C}\)

To jest wynik. Te trzynastki to stąd, że w liczniku w zadaniu było \(\displaystyle{ 13x.}\)

Wszystko ładnie pięknie, ale mi wychodzi:

\(\displaystyle{ \int \frac{13}{2}\ln|x-1|- \frac{13}{2(x-1) }+C}\)

Jeden znak się nie zgadza. :/
I nie robiłem rozkładu na ułamki proste tylko od razu przez podstawianie za t=x-1, dt=dx, a x=t+1.

[Lbubsazob]

No to w drugim moim poście w tym temacie mamy takie coś:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \int \frac{4x-4}{2x^2-4x+2} \mbox{d}x +\int \frac{1}{2x^2-4x+2} \mbox{d}x= \frac{1}{2}\int \frac{x-1}{(x-1)^2} \mbox{d}x +\int \frac{1}{2(x-1)^2} \mbox{d}x}\)

Pierwsza całka jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\ln \left| x-1\right| +C}\), a druga przez podstawienie wychodzi \(\displaystyle{ - \frac{1}{2(x-1)}+C}\). Twój wynik jest poprawny, sprawdzałam to w Wolframie i w Maximie.

[szymon1234513]

A więc w odpowiedziach jest błąd.

Dzięki wielkie za fatygę.


EDIT:

Teraz sprawdziłem na integrals wolfram i jak wpisałem całą całkę to jednak pokazało mi, że tam powinien być +.

[Chromosom]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x}{2x ^{2}-4x+2 }dx}\)

Rozwiązania odwołujące się do rozkładu na ułamki proste lub innych bardziej złożonych działań wprowadzają niepotrzebne komplikacje. Wystarczy wyłączyć \(\displaystyle{ \tfrac12}\) przed nawias, następnie skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia i wykonać przekształcenie:

\(\displaystyle{ \frac{x}{(x-1)^2}=\frac{x-1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)^2}}\)

zróżniczkuj wynik jeśli masz wątpliwości co do poprawności

[dwumian]

Szymon, tam jest plus bo mianownik w ułamku ma przeciwny znak. W tej całce nie trzeba rozkładać na ułamki proste, wystarczy jedno podstawienie.