Definicja całki oznaczonej

[mizera03]

Oj szeregi może nadrobić później:

\(\displaystyle{ \frac{1 ^{3} + 2 ^{3 } +3 ^{3} + ... + n ^{3} }{n ^{4} } = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^3}{n^4}}\)

[szw1710]

Przyjmujemy \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\). Jasnym jest, że \(\displaystyle{ \int_0^1 x^3\,\text{d}x=\frac{1}{4}.}\) Twoja suma jest sumą całkową dla naszej funkcji przy przedziale całkowania \(\displaystyle{ [0,1]}\) i podziale na \(\displaystyle{ n}\) równych części. Punkty pośrednie wybieramy jako końcowe punkty podprzedziałów.

Zatem dokonujemy następującego podziału: \(\displaystyle{ \left[0,\frac{1}{n}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right]\,,\quad\dots,\left[\frac{n-1}{n},\frac{n}{n}\right]\,.}\) Punkty pośrednie są, jak powiedziałem, punktami końcowymi, więc dla \(\displaystyle{ k=0,\dots,n}\) mamy \(\displaystyle{ x_k=\frac{k}{n}}\) oraz \(\displaystyle{ c_k=\frac{k}{n}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,\dots,n.}\) Suma całkowa:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^nf(c_k)(x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^3\frac{1}{n}=\frac{1^3+2^3+\dots+n^3}{n^4}}\)

i ta suma z definicji całki zmierza przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\) do \(\displaystyle{ \int_0^1 x^3\text{d}x=\frac{1}{4}.}\)

Lorek, Dlaczego uważasz, że sformułowanie jest bez sensu. Jest jak najbardziej poprawne. Wyrazy pewnego ciągu stanowią sumy całkowe dla konkretnej całki.

miodzio1988, w swoich wskazówkach wymagasz od dziewczyny dużego doświadczenia. A ona prosi o wytłumaczenie w zasadzie od podstaw. To trudne rzeczy na początku matematycznej drogi. To, że w sekundę wiem, jak zadanie rozwiązać, zawdzięczam 25 latom spędzonym z matematyką.

[miodzio1988]

Lorek, Dlaczego uważasz, że sformułowanie jest bez sensu. J

Bo koleżanka zmieniła treść tego zadania. Edytowała post.

miodzio1988, w swoich wskazówkach wymagasz od dziewczyny dużego doświadczenia

\(\displaystyle{ \frac{1 ^{3} + 2 ^{3 } +3 ^{3} + ... + n ^{3} }{n ^{4} } = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^3}{n^4}}\)

Napisanie tego wymaga dużego doświadczenia?? Bo tylko tego wymagałem....

[szw1710]

Napisanie tego wymaga dużego doświadczenia?? Bo tylko tego wymagałem....

Tak, wymaga. Podstawową trudnością jest wymyślenie, jaką funkcję tu dobrać. Nie dla nas, ale dla dziewczyny, której próbujemy pomóc, jak również dla każdego adepta analizy. Wierz mi, że wiem, co mówię. Spróbuj przez moment popatrzeć z drugiej strony biurka.

[miodzio1988]

. Podstawową trudnością jest wymyślenie, jaką funkcję tu dobrać.

Z całym szacunkiem, ale tego od dziewczyny nie wymagałem...

Poprosiłem tylko o to co zrobił mizera03, czyli zapisanie tego w ten sposób:

\(\displaystyle{ \frac{1 ^{3} + 2 ^{3 } +3 ^{3} + ... + n ^{3} }{n ^{4} } = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^3}{n^4}}\)

i w tym momencie miała się pojawić dopiero funkcja.

[kamija]

\(\displaystyle{ \frac{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \,\cdots\, + n^{3}}{ n^{4} } = \frac{1}{n ^{3} } \cdot \frac{1}{n} +\,\cdots\, + \frac{ n ^{3}}{ n ^{3}} \cdot \frac{1}{n} = \int_{0}^{1} x ^{3} dx = \frac{x ^{4} }{4} = \frac{1}{4}}\)


można tak?

[miodzio1988]

Nie można. Druga równość i trzecia i czwarta nie są prawdziwe.

[kamija]

to chyba odpuszczę sobie to zadanie..

[miodzio1988]

Przyjmujemy \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\). Jasnym jest, że \(\displaystyle{ \int_0^1 x^3\,\text{d}x=\frac{1}{4}.}\) Twoja suma jest sumą całkową dla naszej funkcji przy przedziale całkowania \(\displaystyle{ [0,1]}\) i podziale na \(\displaystyle{ n}\) równych części. Punkty pośrednie wybieramy jako końcowe punkty podprzedziałów.

Zatem dokonujemy następującego podziału: \(\displaystyle{ \left[0,\frac{1}{n}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right]\,,\quad\dots,\left[\frac{n-1}{n},\frac{n}{n}\right]\,.}\) Punkty pośrednie są, jak powiedziałem, punktami końcowymi, więc dla \(\displaystyle{ k=0,\dots,n}\) mamy \(\displaystyle{ x_k=\frac{k}{n}}\) oraz \(\displaystyle{ c_k=\frac{k}{n}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,\dots,n.}\) Suma całkowa:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^nf(c_k)(x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^3\frac{1}{n}=\frac{1^3+2^3+\dots+n^3}{n^4}}\)

i ta suma z definicji całki zmierza przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\) do \(\displaystyle{ \int_0^1 x^3\text{d}x=\frac{1}{4}.}\)

Lorek, Dlaczego uważasz, że sformułowanie jest bez sensu. Jest jak najbardziej poprawne. Wyrazy pewnego ciągu stanowią sumy całkowe dla konkretnej całki.

miodzio1988, w swoich wskazówkach wymagasz od dziewczyny dużego doświadczenia. A ona prosi o wytłumaczenie w zasadzie od podstaw. To trudne rzeczy na początku matematycznej drogi. To, że w sekundę wiem, jak zadanie rozwiązać, zawdzięczam 25 latom spędzonym z matematyką.

Przecież tutaj masz gotowca....