Objętość figury ograniczonej płaszczyznami

[kiwis_89]

Słuchajcie, mam takie zadanie, które wydaje się nie być skomplikowanym, ale nie mogę sobie z nim poradzić, ani znaleźć rozwiązania jakiegoś podobnego w internecie, mógłby ktoś spróbować mi je wytłumaczyć? problem polega na tym, że mam je 'zrozumieć' do niedzieli 10.07.2011 :/ a oto treść:
Oblicz objętość figury geometrycznej, ograniczonej płaszczyznami
\(\displaystyle{ x^2+y^2=z^2 \\
z=2}\)

Lub ewentualnie podpunkt b), bardzo podobny

\(\displaystyle{ x^2+y^2=z^2+2 \\
z=-2}\)

Bardzo proszę o pomóc, z góry dziękuję..!

[xiikzodz]

To pierwsze równanie nie daje płaszczyzny, tylko nieograniczony stożek.

Płaszczyzna \(\displaystyle{ z=2}\) wycina z niego stożek o promieniu podstawy i wysokości równym \(\displaystyle{ 2}\).

Taki stożek ma objętość:

\(\displaystyle{ \frac{8\pi}3}\).

[kiwis_89]

pewnie o taki stożek chodzi, mam jego objetosc obliczyc, tylko że calkami bodaj. po zaliczeniu prof. powiedzial ze to nie stozek, tylko 'paranoida' czy cos takiego, dlatego pytam o poprawne rozwiazanie, bo ja nie wiem jak je rozwiazac

[xiikzodz]

To nie jest paraboloida. Byłoby paraboloidą, gdyby równanie miało np. postać:

\(\displaystyle{ x^2+y^2=z}\).

[kiwis_89]

jestem pewny ze przy z-etach też były '2'. a mógłbyś mi pokazać rozwiązanie tego? uzywajac calek

[xiikzodz]

Za pomocą całek:

\(\displaystyle{ V=\pi\int_0^2x^2 \mbox{d}x =\pi\left[\frac{x^3}3\right]_0^2=\pi\left(\frac 83-\frac 03\right)=\frac{8\pi}3}\).

[kiwis_89]

będzie to tylko pojedyncza calka po x? a czemu tak, moglbys mi wyjasnic lopatologicznie

[xiikzodz]

Bryła obrotowa \(\displaystyle{ B}\) powstałych przez obrócenie wykresu funkcji \(\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ y=f(z)}\)

wokół osi Z objętość oblicza się wygodnie ze wzoru:

\(\displaystyle{ V=\pi\int_a^b(f(x))^2 \mbox{d}x}\)

co można wyprowadzić wprost z definicji całkowania: (15.23)

lub z tw. Fubiniego:

Szukamy:

\(\displaystyle{ {\int\int\int}_B1\: \mbox{d}x \mbox{d}y \mbox{d}z}\)

Możemy scałkować pola, oznaczmy je \(\displaystyle{ P(z)}\), przekrojów po ustalonych \(\displaystyle{ z\in[a,b]}\):

\(\displaystyle{ \ldots=\int_a^b P(z)\mbox{d}z}\).

Z kolei pola tych przekrojów to:

\(\displaystyle{ P(z)=\pi(f(x))^2}\)

ze wzoru na pole koła, co też można za pomocą całek we współrzędnych biegunowych (jakobian to \(\displaystyle{ r}\)):

\(\displaystyle{ P(z)=\int_0^{|f(z)|}\int_0^{2\pi}r \mbox{d}r \mbox{d}\theta=\int_0^{|f(x)|}r \mbox{d}r\cdot\int_0^{2\pi}1 \mbox{d}\theta=}\)

\(\displaystyle{ =2\pi\cdot\left[\frac{r^2}2\right]_0^{|f(x)|}=2\pi\cdot\left(\frac{|f(x)|^2}2-\frac{0}2\right)=\pi(f(x))^2}\)

[aalmond]

Możesz to policzyć klasycznie (po przejściu na cylindryczny układ współrzędnych):
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \left ( \int_{0}^{2} \left ( \int_{r}^{2} rdz \right ) dr \right ) d \varphi}\)

[kiwis_89]

no dobra, a jaka wartość przyjmie tu r? i ten pod całką i ten w granicy całkowania?

[aalmond]

Masz określone wszystkie granice całkowania. Wystarczy tylko rozwiązać.

[kiwis_89]

ok, wyliczając wyszło tak samo jak rozwiązanie xiikzodz, tylko aalmond, mógłbyś mi napisać jak doszedłeś do takiego zapisu? Bo nie bardzo rozumiem

[aalmond]

Takie są granice całkowania dla tej figury:

\(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}+ y^{2} } \le z \le 2\\ \\
- \sqrt{4- x^{2} } \le y \le \sqrt{4- x^{2} } \\ \\
-2 \le x \le 2}\)

Po przejściu na współrzędne cylindryczne mamy:

\(\displaystyle{ r \le z \le 2 \\ \\
0 \le r \le 2 \\ \\
0 \le \varphi \le 2 \pi}\)

Trzeba oczywiście uwzględnić jakobian przekształcenia.

[kiwis_89]

a mógłbyś mi jeszcze wytłumaczyć czemu mamy takie granice? myślałem wcześniej że po przejściu na cylindryczne z jest od 0 do 2, r też od 0 do 2 i fi od 0 do 2pi. Gdybyś mi wytłumaczył dokładnie te granice całkowania figury i po przejściu na współrzędne cylindryczne myślę że poradziłbym sobie już z nim

[aalmond]

W kartezjańskim układzie współrzędnych granice dla z:

\(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}+ y^{2} } \le z \le 2}\)

teraz wstaw:

\(\displaystyle{ x = r \cdot \cos \varphi \\
y = r \cdot \sin \varphi}\)