Problem z prostą całką (Krysicki, Włodarski)
: 3 lip 2011, o 11:25
Witam.
Licząc tą całkę \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x \sqrt{1- ln^{2}|x| }}}\) zadziałałem w ten sposób
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x \sqrt{1- ln^{2}|x| }} = \int \frac{dx}{x \sqrt{(1- ln|x|)(1+ln|x| )}}}\). Wiem, że można ją rozbroić przez podstawienie \(\displaystyle{ ln|x|=t}\) i wyjdzie arcus, ale ja chcę to zrobić innym sposobem. Mianowicie, w tym momencie \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x \sqrt{(1- ln|x|)(1+ln|x| )}}}\) robię podstawienie \(\displaystyle{ t=ln|x|+1}\) i po odpowiednich przekształceniach dochodzę do całki postaci
\(\displaystyle{ \int \frac{dt}{\sqrt{(2-t)t}}}\). Potem stosuję III postawienie Eulera \(\displaystyle{ \sqrt{(2-t)t}=ut}\), wyznaczam sobie potrzebne rzeczy, czyli \(\displaystyle{ t= \frac{2}{ u^{2}+1}, dt = \frac{-4u}{{(u^{2}+1)}^2}, u = \sqrt{ \frac{2-t}{t}}}\), wstawiam do całki i dostaję wynik \(\displaystyle{ -2arctg \sqrt{ \frac{1-ln|x|}{1+ln|x|}}}\). Wiem - utrudniam sobie życie, ale... chcę poćwiczyć.
Po obliczeniu pochodnej tej funkcji mam \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{-1}{2x \sqrt{1- ln^{2}|x| }}}\), czyli pojawił mi się czynnik \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\). Czy to wynik błędnego obliczenia całki czy pochodnej? A może wszystko jest OK?
Z góry dziękuję za pomoc
Licząc tą całkę \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x \sqrt{1- ln^{2}|x| }}}\) zadziałałem w ten sposób
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x \sqrt{1- ln^{2}|x| }} = \int \frac{dx}{x \sqrt{(1- ln|x|)(1+ln|x| )}}}\). Wiem, że można ją rozbroić przez podstawienie \(\displaystyle{ ln|x|=t}\) i wyjdzie arcus, ale ja chcę to zrobić innym sposobem. Mianowicie, w tym momencie \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x \sqrt{(1- ln|x|)(1+ln|x| )}}}\) robię podstawienie \(\displaystyle{ t=ln|x|+1}\) i po odpowiednich przekształceniach dochodzę do całki postaci
\(\displaystyle{ \int \frac{dt}{\sqrt{(2-t)t}}}\). Potem stosuję III postawienie Eulera \(\displaystyle{ \sqrt{(2-t)t}=ut}\), wyznaczam sobie potrzebne rzeczy, czyli \(\displaystyle{ t= \frac{2}{ u^{2}+1}, dt = \frac{-4u}{{(u^{2}+1)}^2}, u = \sqrt{ \frac{2-t}{t}}}\), wstawiam do całki i dostaję wynik \(\displaystyle{ -2arctg \sqrt{ \frac{1-ln|x|}{1+ln|x|}}}\). Wiem - utrudniam sobie życie, ale... chcę poćwiczyć.
Po obliczeniu pochodnej tej funkcji mam \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{-1}{2x \sqrt{1- ln^{2}|x| }}}\), czyli pojawił mi się czynnik \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\). Czy to wynik błędnego obliczenia całki czy pochodnej? A może wszystko jest OK?
Z góry dziękuję za pomoc