Funkcja całkowalna sensie Stieltjesa
-
fala21
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 20 lip 2009, o 00:30
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 3 razy
Funkcja całkowalna sensie Stieltjesa
Witam. Mam problem ze zrozumieniem całki Stieltjesa. Czy mógłby mi ktoś podać jakąś prostą funkcje oraz funkcje wagową(całkowalną w sensie Stieltjesa) którą mógłbym scałkować i poczuć o o chodzi?
-
szw1710
Funkcja całkowalna sensie Stieltjesa
Przy założeniu odpowiedniej regularności mamy
\(\displaystyle{ \int_a^b f(x)\text{d}g(x)=\int_a^b f(x)g'(x)\text{d}x}\)
Wydaje mi się, że całka Riemanna-Stieltjesa jest prototypem całki względem dowolnej miary abstrakcyjnej (czasem taka całka zwana jest całką Lebesgue'a). Otóż jest twierdzenie, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, a funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest o wahaniu skończonym, to całka Riemanna-Stieltjesa \(\displaystyle{ \int_a^b f(x)\text{d}g(x)}\) istnieje. Np. delta Diraca \(\displaystyle{ \delta_0(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x\ne 0}\) oraz \(\displaystyle{ \delta_0(0)=1}\) ma wahanie skończone. Ile wynosi całka względem tej wagi? Jeśli \(\displaystyle{ 0\not\in[a,b],}\) to zero. Jeśli \(\displaystyle{ 0\in[a,b],}\) to rozpisując sumy całkowe można się przekonać, że \(\displaystyle{ \int_a^b f(x)\text{d}\delta_0(x)=f(0).}\) Funkcja \(\displaystyle{ \delrta_0}\) odpowiada pewnej mierze: \(\displaystyle{ \mu(A)=1,}\) gdy \(\displaystyle{ 0\in A}\) oraz \(\displaystyle{ \mu(A)=0,}\) gdy \(\displaystyle{ 0\not\in A.}\) Można łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ \int_a^b f(x)\text{d}\delta_0(x)=\int_{[a,b]} f\text{d}\mu.}\)
Dla ćwiczenia rozważ inną wagę: niech \(\displaystyle{ a_1,\dots,a_n\in[0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{R}.}\) Definiujemy \(\displaystyle{ g(x)=\sum_{i=1}^n\lambda_i\delta_{a_i}(x).}\) Ile wynosi \(\displaystyle{ \int_0^1 f(x)\text{d}g(x)?}\) Załóż ciągłość funkcji \(\displaystyle{ f,}\) żeby całka istniała.
Całka Riemanna-Stieltjsa ma zastosowanie np. w rachunku prawdopodobieństwa. Np. wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) (dowolnej, skokowej czy ciągłej) wyraża się wzorem
\(\displaystyle{ EX=\int_{-\infty}^{\infty} x\text{d}F(x),}\)
gdzie \(\displaystyle{ F}\) oznacza dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ X.}\) Dla zmiennej losowej ciągłej mamy funkcję gęstości rozkładu \(\displaystyle{ f(x)=F'(x).}\) Wtedy
\(\displaystyle{ EX=\int_{-\infty}^{\infty} x\text{d}F(x)=\int_{-\infty}^{\infty} xF'(x)\text{d}x=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\text{d}x,}\)
a to jest znany wzór na wartość oczekiwaną.
\(\displaystyle{ \int_a^b f(x)\text{d}g(x)=\int_a^b f(x)g'(x)\text{d}x}\)
Wydaje mi się, że całka Riemanna-Stieltjesa jest prototypem całki względem dowolnej miary abstrakcyjnej (czasem taka całka zwana jest całką Lebesgue'a). Otóż jest twierdzenie, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, a funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest o wahaniu skończonym, to całka Riemanna-Stieltjesa \(\displaystyle{ \int_a^b f(x)\text{d}g(x)}\) istnieje. Np. delta Diraca \(\displaystyle{ \delta_0(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x\ne 0}\) oraz \(\displaystyle{ \delta_0(0)=1}\) ma wahanie skończone. Ile wynosi całka względem tej wagi? Jeśli \(\displaystyle{ 0\not\in[a,b],}\) to zero. Jeśli \(\displaystyle{ 0\in[a,b],}\) to rozpisując sumy całkowe można się przekonać, że \(\displaystyle{ \int_a^b f(x)\text{d}\delta_0(x)=f(0).}\) Funkcja \(\displaystyle{ \delrta_0}\) odpowiada pewnej mierze: \(\displaystyle{ \mu(A)=1,}\) gdy \(\displaystyle{ 0\in A}\) oraz \(\displaystyle{ \mu(A)=0,}\) gdy \(\displaystyle{ 0\not\in A.}\) Można łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ \int_a^b f(x)\text{d}\delta_0(x)=\int_{[a,b]} f\text{d}\mu.}\)
Dla ćwiczenia rozważ inną wagę: niech \(\displaystyle{ a_1,\dots,a_n\in[0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{R}.}\) Definiujemy \(\displaystyle{ g(x)=\sum_{i=1}^n\lambda_i\delta_{a_i}(x).}\) Ile wynosi \(\displaystyle{ \int_0^1 f(x)\text{d}g(x)?}\) Załóż ciągłość funkcji \(\displaystyle{ f,}\) żeby całka istniała.
Całka Riemanna-Stieltjsa ma zastosowanie np. w rachunku prawdopodobieństwa. Np. wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) (dowolnej, skokowej czy ciągłej) wyraża się wzorem
\(\displaystyle{ EX=\int_{-\infty}^{\infty} x\text{d}F(x),}\)
gdzie \(\displaystyle{ F}\) oznacza dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ X.}\) Dla zmiennej losowej ciągłej mamy funkcję gęstości rozkładu \(\displaystyle{ f(x)=F'(x).}\) Wtedy
\(\displaystyle{ EX=\int_{-\infty}^{\infty} x\text{d}F(x)=\int_{-\infty}^{\infty} xF'(x)\text{d}x=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\text{d}x,}\)
a to jest znany wzór na wartość oczekiwaną.
-
szw1710
Funkcja całkowalna sensie Stieltjesa
Przykłady podałem w poprzednim poście. Ale proszę bardzo.
\(\displaystyle{ \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\,\text{d}\sin x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x(\sin x)'\,\text{dx}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\cos x\,\text{d}x}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ \sin x=t}\) mamy
\(\displaystyle{ \int_0^1 t^2\,\text{d}t=\frac{1}{3}.}\)
\(\displaystyle{ \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\,\text{d}\sin x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x(\sin x)'\,\text{dx}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\cos x\,\text{d}x}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ \sin x=t}\) mamy
\(\displaystyle{ \int_0^1 t^2\,\text{d}t=\frac{1}{3}.}\)