Matematyka.pl

Witam,
mam pewien problem z zadaniem. Ogólnie rozwiązanie jest proste jak zawsze, ale mam problem z zaczęciem.
Otóż:
Oblicz całkę
\(\displaystyle{ \iiint zdxdydz}\) ograniczoną płaszczyznami \(\displaystyle{ z=3-x^2-y^2}\) oraz \(\displaystyle{ z=0}\)

wyszło, w rysunku 3d, że to parabola, wygląda jak "czapka" o wierzchołku S(0,0,3), obcięta przez płaszczyznę Ox,Oy. Wyliczyłem że jej przecięcia z osiami Ox i Oy, to \(\displaystyle{ P(0,\sqrt{3},0), P(0,-\sqrt{3},0), P(\sqrt{3},0,0),P(-\sqrt{3},0,0)}\)
Użyłem więc następujących zależności:
\(\displaystyle{ -\sqrt{3}\le x \le\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ - \sqrt{3-x^2} \le y \le \sqrt{3-x^2}}\)
\(\displaystyle{ 0 \le z \le 3-x^2-y^2}\)

Niestety wychodzą kosmiczne wyniki. Pewnie jest gdzieś mały błąd. Prosiłbym o pomoc, egzamin za dwa dni.

Wynik powinien wyjść: \(\displaystyle{ \frac{9\pi}{2}}\)
Patrząc na wynik, gdzieś pewnie będzie arkus po całkowaniu, lub rozwiązanie sferyczne (ale nie ma przecież kuli..)

Wprowadź zmienne walcowe.

Wprowadziłem takie dane do całki:
\(\displaystyle{ 0 \le r \le \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ 0 \le z \le 3}\)
Nie wyszło...
Wydaje mi się, że to jest źle. Bo parabola nie jest jakby walcem...

O wyszło. Dzięki. Oświecisz mnie dlaczego \(\displaystyle{ 3-r^2}\)?

Sam to napisałeś...

\(\displaystyle{ 0 \le z \le 3-x^2-y^2}\)

\(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2}\)