Matematyka.pl

Za pomocą całki potrójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
\(\displaystyle{ z=- \sqrt{4- x^{2} -y^{2} } \\
z=2- \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)


Widzę, że pierwsza powierzchnia to dolna połowa sfery zaś druga to stożek, dalej nie za bardzo wiem co z tym zrobić. Współrzędne sferyczne?

Wskazówka: obie powierzchnie są obrotowe. Narysuj przekrój bryły płaszczyzną powiedzmy \(\displaystyle{ xz}\), a łatwo wyznaczysz granice całkowania.

Czyli dać współrzędne biegunowe?
\(\displaystyle{ z=- \sqrt{4- r^{2} } \\
z=2-r}\)

Tylko nie za bardzo wiem jak mi to może pomóc. Czy to będzie wtedy:
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2 \\
\pi \le \phi \le 2\pi \\
-2 \le z \le 0}\)

\(\displaystyle{ z=2-|r|}\). Przecież \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}=|a|}\)!!!

Narysuj te linie w układzie \(\displaystyle{ rz}\), wyznacz punkty przecięcia, zrzutuj na oś \(\displaystyle{ r}\). Rzutem całej bryły na płaszczyznę \(\displaystyle{ xy}\) będzie koło o odpowiednim promieniu. Więc nak najbardziej współrzędne biegunowe.

Więc mam coś takiego układ rz:

Tylko jak wyznaczyć granice całkowania.
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2 \\
0 \le \phi \le 2\pi \\
- \sqrt{4- r^{2} } \le z \le 2-\left| r\right|}\)
Tak jest dobrze?

Rysunek OK. Obracasz to dookola osi z. Więc granice całkowania są ewidentne.