całka z arcsin - sprawdzenie

[Ms_Sussy]

Proszę mi powiedzieć, co robię źle

\(\displaystyle{ \int arcsin2x \mbox{d}x =}\)

|u= arcsin2x
du= \(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{1+4x ^{2} } }}\)
dv = dx
v=x |

= \(\displaystyle{ arcsin2x- \int \frac{2x \mbox{d}x }{ \sqrt{1+4x ^{2} } } =

\int \frac{2x \mbox{d}x }{ \sqrt{1+4x ^{2} } }=}\)
\(\displaystyle{ -2 |t ^{2} = 1+4x ^{2}}\)

\(\displaystyle{ t=1+4x ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 2tdt=8xdx}\)

\(\displaystyle{ xdx= \frac{1}{4} tdt |}\)

\(\displaystyle{ = \int \frac{ \frac{tdt}{4} }{t} = \frac{1}{4} \int dt = \frac{1+4x ^{2} }{4}}\)

\(\displaystyle{ =xarcsin2x- \frac{1+4x ^{2} }{4}}\)

[Funktor]

Całka z tego pierwiastka jest źle.-- 26 cze 2011, o 00:49 --nie mówiąc już o tym że że pochodna z \(\displaystyle{ arcsin(x)}\) pod pierwiastkiem ma minus a nie plus.

[Ms_Sussy]

To znaczy ?

we wzorze na pochodną arcusa pod pierwiastkiem jest -t^2 czyli jeżeli nasz t=2x i to podnosimy do kwadratu, to nie rozumiem, czemu ma być minus.

[Juankm]

Ledwo cokolwiek widzę, ale błąd jest chyba nawet już tutaj:
\(\displaystyle{ u=\arcsin{2x} \\
du= \frac{2}{ \sqrt{1\underbrace{+4x ^{2}}_{tu \ musi \ byc \ -4x^{2}} } } dx}\)

Sory za wcinke, nie zauważyłem, że edytowałeś Funktor.

I w ogóle to nie tą całkę liczycie, Ty chcesz to robić przez podstawienie czy przez części, bo strasznie nieczytelnie to napisałeś...

[Funktor]

Całka z \(\displaystyle{ \frac{2x}{ \sqrt{1-4x^2} }}\) to jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{1-x^2}}\)

-- 26 cze 2011, o 00:58 --

Pochodna z \(\displaystyle{ arcsin(argument)}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1-(argument)^2} }}\)

To znaczy ?

we wzorze na pochodną arcusa pod pierwiastkiem jest -t^2 czyli jeżeli nasz t=2x i to podnosimy do kwadratu, to nie rozumiem, czemu ma być minus.

[leonek74]

Oraz minus i minus daje plus (to w dodawaniu całek).

[Ms_Sussy]

Matko, ale mam ciężką rozkminę nad tym
Dlaczego : \(\displaystyle{ \frac{2x}{ \sqrt{1-4x^2} }=}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{1-x^2}}\) ?

[Funktor]

Późno jest... mój błąd w wyniku powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{2}sqrt{(1-4x^2)}}\) sory za pomyłkę ;]

Matko, ale mam ciężką rozkminę nad tym
Dlaczego : \(\displaystyle{ \frac{2x}{ \sqrt{1-4x^2} }=}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{1-x^2}}\) ?

[Ms_Sussy]

Szkoda, że moderator przeniósł moją wiadomość, bo była odpowiedzią, na identyczne zadanie, napisane i rozwiązane już przez kogoś. W takim razie postaram się przepisać:
f' = 1
f = x
g=arcsin2x
\(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{1-x ^{2} } } = \frac{2}{ \sqrt{1-x ^{2} } }
= xarcsin2x - 2 \int \frac{x}{ \sqrt{1-x ^{2} } }
=xarcsin2x - 2 \int \frac{x}{ \sqrt{1-x ^{2} } } \mbox{d}x}\)

Czy to jest poprawnie i jeśli tak, to dlaczego?
Funktor, jak policzyłeś tą całkę, czy jest taki wzór?

[Funktor]

ciągle źle liczysz pochodną arkusa, zastosój ten wzór który ci podałem, zresztą podałem ci też poprawioną wersję tego co się pomyliłem i gdzie miałaś wątpliwości. jak weźmiesz to pod uwagę to już masz zrobione zadanie ;] Ale do puki nie nauczysz się dobrze liczyć pochodnych to całkować sie też nie nauczysz słonko : )

A tymczasem idę spać bo już ledwo patrzę na oczy

[Ms_Sussy]

Ja też ledwo widzę, ale egzamin ważniejszy
To znaczy to co jest wyżej skopiowane jest z innego wątku, tego kompletnie nie rozumiem.

Wrzucam swoje rozwiązanie poniżej

[Funktor]

Ok , pogadamy rano na ten temat O ile ktoś inny nie rozwieje twoich wątpliwości ;]

Ja też ledwo widzę, ale egzamin ważniejszy
To znaczy to co jest wyżej skopiowane jest z innego wątku, tego kompletnie nie rozumiem.

Wrzucam swoje rozwiązanie poniżej

[Juankm]

Zrobimy przez części( z poniższą poprawką Funktora):
\(\displaystyle{ \int \arcsin2x dx=\begin{cases} f=\arcsin{2x}, \ \ \ \ \ \ \ g^{\prime}=1 \\f^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^{2}}} \cdot 2, \ \ g=x\end{cases}= \int f \cdot g^{\prime} \ dx = \\ \\ = f \cdot g - \int f^{\prime} \cdot g \ dx= \arcsin{2x} \cdot x - \int \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^{2}}} \cdot 2 \cdot x \ dx = \\ \\ = x \arcsin{2x} - 2\int \frac{x}{\sqrt{1-4x^{2}}} dx = \begin{cases}1-4x^{2}=u\\ -8xdx=du\end{cases} \\ \\ = x \arcsin{2x} - 2\int \frac{x}{\sqrt{u}} \frac{du}{-8x} = x \arcsin{2x} + \frac{2}{4}\int \frac{1}{2\sqrt{u}} du = \\ \\ = x \arcsin{2x} + \frac{1}{2}\sqrt{u} + C =x \arcsin{2x} + \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^{2}} + C}\)

[Funktor]

Tylko powinna być \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) w ostatecznym wyniku bo po drodze zapomniałeś o dwójce. ( przy pierwiastku )
Pozatym jest wszystko ok : )

Zrobimy przez części:
\(\displaystyle{ \int \arcsin2x dx=\begin{cases} f=\arcsin{2x}, \ \ \ \ \ \ \ g^{\prime}=1 \\f^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^{2}}} \cdot 2, \ \ g=x\end{cases}= \int f \cdot g^{\prime} \ dx = \\ \\ = f \cdot g - \int f^{\prime} \cdot g \ dx= \arcsin{2x} \cdot x - \int \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^{2}}} \cdot x \ dx = \\ \\ = x \arcsin{2x} - \int \frac{x}{\sqrt{1-4x^{2}}} dx = \begin{cases}1-4x^{2}=u\\ -8xdx=du\end{cases} \\ \\ = x \arcsin{2x} - \int \frac{x}{\sqrt{u}} \frac{du}{-8x} = x \arcsin{2x} + \frac{1}{4}\int \frac{1}{2\sqrt{u}} du = \\ \\ = x \arcsin{2x} + \frac{1}{4}\sqrt{u} + C =x \arcsin{2x} + \frac{1}{4}\sqrt{1-4x^{2}} + C}\)