Matematyka.pl

Witam

Płaszczyzny to:
\(\displaystyle{ z=x^{2}+y^{2}}\) czyli paraboloida obrotowa
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2x\Rightarrow(x-1)^{2}+y^{2}=1}\) czyli walec obrotowy o środku w punkcie (1,0) i promieniu 1
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=4x\Rightarrow(x-2)^{2}+y^{2}=4}\) czyli walec obrotowy o środku w punkcie (2,0) i promieniu 2.
\(\displaystyle{ z=0}\) ograniczenie od dołu.

A więc tak:
Ustaliłem obszar po współrzędnych biegunowych:
\(\displaystyle{ \begin{cases}2\cos{\phi}\leqslant\rho\leqslant4\cos{\phi}\\
- \frac{\pi}{2}\leqslant\phi\leqslant\frac{\pi}{2}\end{cases}}\)

Czy dobrze ustaliłem obszar ?
Czy jeśli dobrze ustaliłem obszar to wystarczy teraz obliczyć tylko:
\(\displaystyle{ \iint_{D}(x^{2}+y^{2}-0)dxdy}\) <-- oczywiście zamieniając na \(\displaystyle{ \phi}\) i \(\displaystyle{ \rho}\)?

Z góry dzięki za odpowiedź.

tak

Sam uczę się na egzam z maty... rozwiązałem teraz to zadanie i ku mojemu zdziwieniu wyszło mi 0
Czy mógłby ktoś powiedzieć co robię źle?


\(\displaystyle{ \iint (x^{2}+y^{2}-0)dxdy = \iint r^{2}r d \phi dr =
\int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} }d \phi \int_{2\cos \phi}^{4\cos \phi} r^{3} dr =
\int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{r^{4}}{4} _{2\cos \phi}^{4\cos \phi} d \phi=
\int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{(4\cos \phi)^{4}}{4}-\frac{(2\cos \phi)^{4}}{4} d \phi = \int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } 60 \cos ^{4} \phi d \phi = 60 \int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } \cos ^{4} \phi d \phi = \left(\frac{3}{8}+ \frac{1}{2}\cos 2 \phi+ \frac{1}{8}\cos 4 \phi\right) _{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } = \left(\frac{3}{8}+ \frac{1}{2}\cos \pi+ \frac{1}{8}\cos 2\pi \right)- \left(\frac{3}{8}+ \frac{1}{2}\cos (-\pi)+ \frac{1}{8}\cos (-2\pi)\ \right) = 0}\)

ostatnia całka oznaczona z funkcji trygonometrycznej jest źle obliczona

Hmm... takie coś znalazłem na TYM forum bo sam nie wiedziałem jak ją obliczyć... próbowałem podstawieniem ale zamotałem się.

38989.htm

przekształcenie nie odnosi się do całki tylko do funkcji podcałkowej