Całka krzywoliniowa

[secondlife]

Hi, mam zadanie do którego nie wiem jak się zabrać. Próbowałem policzyć z definicji, rozbijając na osobne całki i ciągle wszystko mi się zeruje.

"
Obliczyć całkę krzywoliniową postaci:

\(\displaystyle{ \int\limits_{L}^{}xydx + xydy}\)

gdzie L jest obwodem trójkąta o wierzchołkach A(0,0), B(1,0), C(0,1) skierowanym dodatnio.
"

gdyby ktoś mógł wytłumaczyć rozwiązanie, będę wdzięczny.

[miodzio1988]

Pokaż jak liczysz. Rozbicie na 3 całki to jest dobra droga

wychodzi zero

[secondlife]

Najpierw wyliczam równania odcinków:
|AB| => y=0
|AC| => x=0
|BC| => y=-x+1

Rozbijam całość na sumę trzech całek według:

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}xydx + xydy}\)

Dla odcinka |AB| , y=0 , \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\) = 0
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}x * 0 * 0 + x*0*0}\)

Dla odcinka |AC| , x=0 , \(\displaystyle{ \frac{dx}{dy}}\) = 0
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}0*y*0 + 0*y*dy}\)

Dla odcinka |BC| , y=-x+1 , \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\) = -1
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}x(-x+1)dx + -(x(-x+1))dx}\) = \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}(-x ^{2}+x)dx + -(-x ^{2} +x)dx}\) = [ - \(\displaystyle{ frac{x ^{3}}{3}}\) + \(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{2}}\)] + [ - \(\displaystyle{ frac{x ^{3} }{3} + frac{x ^{2} }{2}}\) ] = - \(\displaystyle{ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2}}\) = 0