Policz całkę nieoznaczoną:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{4x+7}{ \sqrt{ x^{2}+5}}}\)
Próbowaliśmy przez podstawienie \(\displaystyle{ t = x^{2} + 5 ; dx = \frac{dt}{2x}}\)
I dochodzimy do momentu:
\(\displaystyle{ 4\sqrt{t} + C + 7 \int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{t}} \frac {dt}{2x}}\)
I co dalej ? Proszę o pomoc.
Całka nieoznaczona
- alfgordon
- Użytkownik
- Posty: 2176
- Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 379 razy
Całka nieoznaczona
\(\displaystyle{ \int \frac{4x+7}{ \sqrt{ x^{2}+5}} =2 \int \frac{2x}{\sqrt{x^2 +5}}dx +7 \int \frac{1}{\sqrt{x^2 +5}} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{2x}{\sqrt{x^2 +5}}dx =2\sqrt{x^2 +5}}\)
drugą całkę liczysz korzystając z pierwszego podstawienia Eulera (lepiej znać gotowy wzór na takie całki)
\(\displaystyle{ \int \frac{2x}{\sqrt{x^2 +5}}dx =2\sqrt{x^2 +5}}\)
drugą całkę liczysz korzystając z pierwszego podstawienia Eulera (lepiej znać gotowy wzór na takie całki)
Całka nieoznaczona
Potrzebny wzór Eulera:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{x^{2}+k} } = \ln \left|x + \sqrt{x^{2}+k} \right| + C}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{4x+7}{ \sqrt{ x^{2}+5}}
\\
t = x^{2} + 5 ; \quad dx = \frac{dt}{2x}
\\
\int \frac{4x}{ \sqrt{t}} \frac{dt}{2x} + \int \frac{7}{ \sqrt{ x^{2}+5}} dx =
\\
2 \int \frac{dt}{\sqrt{t}} + \int \frac{7}{ \sqrt{ x^{2}+5}} dx =
\\
4 \sqrt{t} + C + 7 \int \frac{dx}{\sqrt{ x^{2}+5}} =
\\
4 \sqrt{x^{2}+5} + C + 7 \ln \left| x + x^{2}+5 \right| +C}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{x^{2}+k} } = \ln \left|x + \sqrt{x^{2}+k} \right| + C}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{4x+7}{ \sqrt{ x^{2}+5}}
\\
t = x^{2} + 5 ; \quad dx = \frac{dt}{2x}
\\
\int \frac{4x}{ \sqrt{t}} \frac{dt}{2x} + \int \frac{7}{ \sqrt{ x^{2}+5}} dx =
\\
2 \int \frac{dt}{\sqrt{t}} + \int \frac{7}{ \sqrt{ x^{2}+5}} dx =
\\
4 \sqrt{t} + C + 7 \int \frac{dx}{\sqrt{ x^{2}+5}} =
\\
4 \sqrt{x^{2}+5} + C + 7 \ln \left| x + x^{2}+5 \right| +C}\)