Pole ewolwenty kola

[sintom]

Obliczyc pole ewolwenty kola:
\(\displaystyle{ x = 3 \left( \cos \left( t \right) + t\sin \left( t \right) \right) \\
y = 3 \left( \sin \left( t \right) - t\cos \left( t \right) \right)}\)

Dla \(\displaystyle{ 0 \le t \le 2 \pi}\)

Wyliczenie pochodnej dla \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ x' = 3t\cos \left( t \right)}\)

Wiec otrzymujemy nieoznaczona calke do policzenia:
\(\displaystyle{ \int |y \left( t \right) |x' \left( t \right) dt = 9 \int \left[ t\sin \left( t \right) \cos \left( t \right) - t^{2}\cos ^{2} \left( t \right) \right] dt = 9 \left( \int \frac{t}{2} \sin \left( 2t \right) dt - \int t^{2} \frac{1+\cos \left( 2t \right) }{2} \right) = \frac{9}{2} \left[ -t\cos \left( 2t \right) + \frac{t}{2} \sin \left( 2t \right) - \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \sin \left( 2t \right) \right]}\)

Liczac teraz calke oznaczona
\(\displaystyle{ \int_{}^{} |y \left( t \right) |x' \left( t \right) dt = \frac{9}{2} \left[ -t\cos \left( 2t \right) + \frac{t}{2} \sin \left( 2t \right) - \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \sin \left( 2t \right) \right]_{0}^{2\pi} = 3 \left( -4\pi^{3}-3\pi \right)}\).

Prawie wynik jak w ksiazce: \(\displaystyle{ 3 \left( 4\pi^{3}+3\pi \right)}\)

Z tego wnioskuje ze aby otrzymac wynik jak w ksiazce:
1) Albo powinienem wyciagnac wartosc bezwzgledna z otrzymanego wyniku bo pole przecierz nie moze byc ujemne - ale dla mnie to jest troche naciagane bo patrz pkt 2

2) Znalezc przedzialy gdzie y jest ujemne i/lub x jest malejace i policzyc calki oznaczone wg definicji. O ile z x nie ma problemu zeby znalezc przedzialy kiedy jest malejacy (z pochodnej) o tyle mam problem z y wyznaczyc kiedy jest on ujemny bo nie umiem sobie poradzic nierownoscia \(\displaystyle{ 0 \le 3 \left( \sin \left( t \right) - t\cos \left( t \right) \right)}\). Nie wiem tutaj nawet jak zaczac z taka nierownoscia.


Jak mam poradzic sobie z tym zadaniem zeby otrzymac poprawny wynik?

[Rogal]

Przede wszystkim zingorowałeś moduł na ygreku - pierwszy poważny błąd.
Następnie przedział całkowania wziąłeś taki, w którym x i rośnie i maleje, co znowuż daje Ci minusy - drugi błąd.
A na samym wstępie zrobiłeś taki błąd, że sobie tego nie narysowałeś. Stąd nie widzisz, że funkcja jest okresowa, a co załatwiłoby od razu "drugi błąd" i pozwoliłoby łatwiej zbadać "pierwszy błąd".
Dlatego zapamiętaj - zawsze staraj się choć w dużym przybliżeniu naszkicować wykres funkcji, to dużo pomaga.

[sintom]

Czyli tak jak sie spodziewalem (punkt 2)

Wiec... x jest malejace w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right)}\).

Gorzej z ygrekiem....

\(\displaystyle{ 0 \le 3 \left( \sin \left( t \right) - t\cos \left( t \right) \right) \\
0 \le \sin \left( t \right) - t\cos \left( t \right) \\
\sin \left( t \right) \ge t\cos \left( t \right) \\
t \ge \frac{\sin \left( t \right) }{\cos \left( t \right) }\\
t \ge \tg \left( t \right)}\)

z zadnego z powyzszych nie jestem w stanie wyznaczyc kiedy y jest mniejsze od 0. Czy sa jakies wzory z trygonometrii ktore ulatwia mi sprawe?

[Rogal]

Narysuj sobie wykres funkcji y = x i y = tg x i zobacz, gdzie się tną w kontekście Twojego przedziału.

[sintom]

Zrobilem sobie taki obrazek ewolwenty:


Oraz taki \(\displaystyle{ y=x}\) oraz \(\displaystyle{ y=\tg (x)}\)



Nadal nie do konca wiem gdzie dokladnie \(\displaystyle{ y=x}\) oraz \(\displaystyle{ y=\tg (x)}\) sie przecinaja
(poza zerem).
Z obserwacji wyszlo mi ze gdzies miedzy \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) a
\(\displaystyle{ \frac{3}{2} \pi}\) a raczej blizej \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \pi}\)

Wiec zalozylem sobie ze \(\displaystyle{ t=\tg (t)}\) dla jakiegos \(\displaystyle{ t_{y}}\)

Rozwazania dla x(t):
W przedzialach \(\displaystyle{ \left(0, \frac{\pi}{2} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left(\frac{3}{2}\pi, 2\pi\right)}\) x jest malejacy wiec calka oznaczona jest dodatnia.

W przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi \right)}\) x jest malejace wiec calka oznaczona jest ujemna.

Rozwazania dla y(t):
W przedziale \(\displaystyle{ \left(0, t_{y}\right)}\) ygrek jest dodatnie wiec \(\displaystyle{ |y(t)| = y(t)}\)

W przedziale \(\displaystyle{ \left(t_{y}, \frac{3}{2}\pi \right)}\) ygrek jest ujemne wiec \(\displaystyle{ |y(t)| = -y(t)}\)

Biorac pod uwage powyzsze rozwazania i zalozenie dla \(\displaystyle{ t_{y}}\) otrzymuje takie cos aby policzyc pole ewolwenty:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(t\sin \left( t \right) \cos \left( t \right) -t^{2}\cos \left( t \right) \right)dt - \int_{\frac{\pi}{2}}^{t_y}\left( t\sin \left( t \right) \cos \left( t \right) -t^{2}\cos \left( t \right) \right)dt + \int_{t_y}^{\frac{3}{2}\pi}\left( t\sin \left( t \right) \cos \left( t \right) -t^{2}\cos \left( t \right) \right) dt - \int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi} \left( t\sin \left( t \right) \cos \left( t \right) -t^{2}\cos \left( t \right) \right)dt}\)

Mialem cicha nadzieje, ze jak wylicze te calki to wyrazenia z \(\displaystyle{ t_{y}}\) sie zeruja... niestety tak nie wyszlo.

Nadal nie wiem jak sobie z tym zadaniem poradzic Nie wiem jak znalezc wartosc dla \(\displaystyle{ t_{y}}\) (czyli miejsce zerowe dla y(t) ) oraz czy aby rozwiazac to zadanie faktycznie musze znac ta wartosc czy moze jest cos co pominalem (lub o czyms jeszcze nie wiem).

[Rogal]

Najpierw należą Ci się przeprosiny - nie wiem, dlaczego wyobraziłem sobie ewolwentę jako cykloidę.
Co do zadania.
Ponieważ wiem, że masz te całki policzone, to podaj tutaj to, co udało Ci się zrobić, bo sądzę, że uda się "wysprycić" i tak zrobić, by nie babrać się strasznie z tym \(\displaystyle{ t_{y}}\)

[sintom]

Troche watpie w to ze uda sie cos przekombinowac z tym \(\displaystyle{ t_{y}}\). Dodam jeszcze, ze zadanie pochodzi z ksiażki Krysicki, Włodarski - Analiza w zadaniach I (rozdział z wykorzystanie geometryczne całek).

Wczesniej zapomnialem jeszcze przed calkami oznaczonymi dac ulamek \(\displaystyle{ \frac{9}{2}}\)

Poniżej obliczone całki krok po kroku (mam nadzieje, ze nigdzie sie nie pomylilem):
\(\displaystyle{ I = \frac{9}{2}\left( \left[ t\sin \left( 2t \right) \left( \frac{1}{2}-\frac{t}{2} \right) - \frac{t^{3}}{3}-t\cos \left( 2t \right) \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0} -\\- \left[ t\sin \left( 2t \right) \left( \frac{1}{2}-\frac{t}{2} \right) - \frac{t^{3}}{3}-t\cos \left( 2t \right) \right]^{t_{y}}_{\frac{\pi}{2}} +\\+ \left[ t\sin \left( 2t \right) \left( \frac{1}{2} - \frac{t}{2} \right) - \frac{t^{3}}{3}-t\cos \left( 2t \right) \right]^{\frac{3}
{2}\pi}_{t_{y}}-\\- \left[ t\sin \left( 2t \right) \left( \frac{1}{2} - \frac{t}{2} \right) - \frac{t^{3}}{3}-t\cos \left( 2t \right) \right]^{2\pi}_{\frac{3}{2}\pi} \right) }\)

Zwroc rowniez uwage, ze ulamek na poczatku jest przed nawiasem wiec dotyczy calego wyrazenia. Pisze zeczy oczywiste zeby sie upewnic, ze nic nie zostanie pominiete.

Wyliczajac dalej:
\(\displaystyle{ I = \frac{9}{2} \left( \left[ \frac{\pi}{2} \cdot 0-(\frac{\pi}{2})^3 \cdot \frac{1}{3}-\frac{\pi}{2} \cdot (-1) - (0-0-0)\right] -\\- \left[ t_{y}\sin (2t_{y})(\frac{1}{2} - \frac{t_{y}}{2})-(t_{y})^{3} \cdot \frac{1}{3} - t_{y}\cos (2t_{y})-\left( \frac{\pi}{2} \cdot 0-(\frac{\pi}{3})^{3} \cdot \frac{1}{3}-\frac{\pi}{2} \cdot (-1) \right) \right] +\\+ \left[ \frac{3}{2}\pi \cdot 0 -(\frac{3}{2}\pi)^{3} \cdot \frac{1}{3} - \frac{3}{2}\pi \cdot (-1)-\left( t_{y}\sin (2t_{y})(\frac{1}{2} - \frac{t_{y}}{2})-(t_{y})^{3} \cdot \frac{1}{3} - t_{y}\cos (2t_{y})\right) \right] -\\-\left[ \left(2\pi \cdot 0 -(2\pi)^{3} \cdot \frac{1}{3} - 2\pi \cdot 1\right)-\left( \frac{3}{2}\pi \cdot 0 -\left(\frac{3}{2}\pi\right)^{3} \cdot \frac{1}{3} - \frac{3}{2}\pi \cdot (-1)\right) \right] \right) }\)

I wreszczie podliczajac to wszystko:

\(\displaystyle{ \frac{9}{2} \left( \left[ - \frac{59}{24}\pi^{3} + 6\pi \right] -2 \cdot \left[ t_{y}\sin \left( 2t_{y} \right) \left( \frac{1}{2} - \frac{t_{y}}{2} \right) - \left( t_{y} \right) ^{3} \cdot \frac{1}{3} - t_{y}\cos \left( 2t_{y} \right) \right] \right)}\)

PS: mam nadzieje, ze sie gdzies nie pomylilem przepisujac te wzory w LaTeXie.

[Rogal]

To faktycznie paskudna sprawa.
Coś jest nie tak, bo w Krysickim tak zawiłych zadań to nie ma, ale nie widzę jak to liczenie uprościć.
Jak ktoś to czyta i widzi, to niech się zlituje.

[ares41]

Ostatnio rozwiązywałem to zadanie znajomemu i jako że w tym temacie pozostało ono niedokończone, pozwolę sobie wrzucić tutaj moje rozwiązanie.

Zapiszmy równanie naszej ewolwenty we współrzędnych biegunowych.
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ r^2=x^2+y^2=9 \left[ \left( \cos \left( t \right) + t\sin \left( t \right) \right) ^2+ \left( \sin \left( t \right) - t\cos \left( t \right) \right) ^2 \right] = 9 \left( 1+t^2 \right) \\ \\
\varphi = \arctan\frac{y}{x}+k\pi= \arctan{\frac{ \sin \left( t \right) - t\cos \left( t \right) }{ \cos \left( t \right) + t\sin \left( t \right) }}+k\pi}\)

przy czym \(\displaystyle{ k\in\{0,1,2\}}\) zależnie od znaków \(\displaystyle{ x,y}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}\varphi}{ \mbox{d}t} = \frac{t^2}{t^2+1}}\) ( dokładne rachunki pomijam dla przejrzystości wiadomości).

Stąd dostajemy \(\displaystyle{ \mbox{d}\varphi=\frac{t^2}{t^2+1}\mbox{d}t}\)

Szukane pole jest równe sumie pola koła i powierzchni wyznaczonej przez "ramię" krzywej.

Zatem
\(\displaystyle{ P=\underbrace{9\pi}_{\text{pole koła}}+ \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi}r^2 \mbox{d}\varphi=9\pi + \int_{0}^{2\pi}9 \left( t^2+1 \right) \frac{t^2}{t^2+1}\mbox{d}t=9\pi+ \frac{9}{2} \int_{0}^{2\pi}t^2\mbox{d}t=\\ =9\pi+ \frac{3}{2} \left[ t^3 \right] ^{2\pi}_{0}=9\pi+12\pi^3}\)