Udowodnić nieparzystość funkcji

[czeslaw]

Dana jest ciągła funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\). Dla każdej ciągłej funkcji parzystej \(\displaystyle{ g(x)}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \int_{-1}^1 f(x)g(x)dx = 0}\). Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest nieparzysta.

[Zordon]

Innymy słowy dla każdej funkcji ciągłej \(\displaystyle{ g}\):
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} g(x)(f(x)+f(-x))dx=0}\)
Czyli pokażemy ze jesli dla kazdej ciaglej g \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} g(x)h(x)dx=0}\) i h jest ciągła to \(\displaystyle{ h=0}\).
Jeśli nie jest zero to jest powiedzmy dodatnia na pewnym przedziale \(\displaystyle{ I}\). Biorę funkcję \(\displaystyle{ g}\) która jest dodatnie na pewnym podprzedziale \(\displaystyle{ J\subseteq I}\), ale \(\displaystyle{ g=0}\) poza \(\displaystyle{ I}\). No i ok.