Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią :
\(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=a^{3}z}\)
objętość bryły
-
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 8 sty 2007, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: nie wiem
-
- Użytkownik
- Posty: 478
- Rejestracja: 6 lut 2011, o 10:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa / Radom
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 64 razy
objętość bryły
Niech ktoś sprawdzi czy dobrze kombinuję:
Podstawiam współrzędne sferyczne:
\(\displaystyle{ x = r \cos \varphi \cos \psi \\
y = r \sin \varphi \cos \psi \\
z = r \sin \psi\\
J = r^2 \cos \psi}\)
Otrzymuję równanie:
\(\displaystyle{ \left( r^2\right)^2 = a^3 r \sin \psi\\
r = a\sqrt[3]{\sin \psi}}\)
Dziedzina:
\(\displaystyle{ r \in \left[ 0,a\right]\\
\psi \in \left[ 0,\frac{\pi}{2}\right]}\)
Wstawiam do równań sferycznych:
\(\displaystyle{ x = a \cos \varphi \cos \psi \sqrt[3]{\sin \psi}\\
y = a \sin \varphi \cos \ psi \sqrt[3]{\sin \psi}\\
z = a \sin \psi \sqrt[3]{\sin \psi}\\
J = a^2 \cos \psi \left( \sqrt[3]{\sin \psi}\right) ^2}\)
Liczę całkę z takim jakobianem na dziedzinie:
\(\displaystyle{ r \in \left[ 0,a\right]\\
\psi \in \left[ 0,\frac{\pi}{2}\right]\\
\varphi \in \left[ 0,\pi\right]}\)
mój wynik:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\psi\int\limits_{0}^{a} a^2 \cos \psi \left( \sqrt[3]{\sin \psi}\right) ^2 dr= \frac{6\pi a^3}{5}}\)
a tak wygląda ta bryła moim zdaniem:
Podstawiam współrzędne sferyczne:
\(\displaystyle{ x = r \cos \varphi \cos \psi \\
y = r \sin \varphi \cos \psi \\
z = r \sin \psi\\
J = r^2 \cos \psi}\)
Otrzymuję równanie:
\(\displaystyle{ \left( r^2\right)^2 = a^3 r \sin \psi\\
r = a\sqrt[3]{\sin \psi}}\)
Dziedzina:
\(\displaystyle{ r \in \left[ 0,a\right]\\
\psi \in \left[ 0,\frac{\pi}{2}\right]}\)
Wstawiam do równań sferycznych:
\(\displaystyle{ x = a \cos \varphi \cos \psi \sqrt[3]{\sin \psi}\\
y = a \sin \varphi \cos \ psi \sqrt[3]{\sin \psi}\\
z = a \sin \psi \sqrt[3]{\sin \psi}\\
J = a^2 \cos \psi \left( \sqrt[3]{\sin \psi}\right) ^2}\)
Liczę całkę z takim jakobianem na dziedzinie:
\(\displaystyle{ r \in \left[ 0,a\right]\\
\psi \in \left[ 0,\frac{\pi}{2}\right]\\
\varphi \in \left[ 0,\pi\right]}\)
mój wynik:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\psi\int\limits_{0}^{a} a^2 \cos \psi \left( \sqrt[3]{\sin \psi}\right) ^2 dr= \frac{6\pi a^3}{5}}\)
a tak wygląda ta bryła moim zdaniem: