Zbieżność całki niewłaściwej

[Enye]

Witam,
mam do zbadania zbieżność bezwzględną następującej całki niewłaściwej:
\(\displaystyle{ \int_{ 0 }^{\infty} \frac{xsin(ax)}{b ^{2} + x^{2}}}\).

Prawdopodobnie jest ona rozbieżna, ale jak to policzyć?
(Próbowałam przez kryterium ilorazowe, ale wtedy jedynym sensownym pomysłem jest pozbycie się sinusa, czyli podzielenie przez coś, co może być zerem... Nie jest to eleganckie, na upartego co prawda możemy założyć, że wyrzucamy po prostu parę punktów z dziedziny).

[luka52]

Akurat jest zbieżna dla dowolnych rzeczywistych a i b. Spróbuj umiejętnie wykorzystać kryterium Dirichleta.

[Tomasz Rużycki]

Bądź oszacuj moduł funkcji podcałkowej przez coś, czego całka jest zbieżna. W tym wypadku to dość proste.

Ups, troszkę się zapędziłem, przepraszam.

[luka52]

Tomasz Rużycki, sam jestem ciekaw czym to można oszacować .

[norwimaj]

luka52, w treści jest, żeby badać zbieżność bezwzględną, a taka jest tylko dla \(\displaystyle{ a=0}\).


Może by tak:

\(\displaystyle{ \int_{\frac{n\pi}{a}}^{\frac{(n+1)\pi}{a}}\left|\frac{x\sin(ax)}{b ^{2} + x^{2}}\right|\mathrm{d}x\ge
\inf_{t\in\left[\frac{n\pi}{a},\frac{(n+1)\pi}{a}\right]} \frac{t}{b ^{2} + t^{2}}
\int_{\frac{n\pi}{a}}^{\frac{(n+1)\pi}{a}}\left|\sin(ax)\right|\mathrm{d}x}\).

Dla kolejnych \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) całka \(\displaystyle{ \int_{\frac{n\pi}{a}}^{\frac{(n+1)\pi}{a}}\left|\sin(ax)\right|\mathrm{d}x}\) jest równa cały czas tyle samo. A wyrażenie obok zachowuje się asymptotycznie, jak \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\).


Edit: To dla \(\displaystyle{ a>0}\). Dla \(\displaystyle{ a<0}\) troszkę inaczej, ale wynik oczywiście ten sam.

[luka52]

norwimaj, no fakt, nie doczytałem .

[Enye]

Dziękuję, sposób norwimaja rzeczywiście jest dobry.