Całka oznaczona

[MarcinTomaszewski]

Proszę o podpowiedź jak uzasadnić poniższą równość:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} ( \sqrt{x^3 + 1} + \sqrt[3]{x^2 +2x}) dx= 6}\)

[szw1710]

Całka \(\displaystyle{ \int\sqrt{x^3+1}\,dx}\) jest nieelementarna. Trzeba sprytniejszego sposobu. Pomyślę - na razie nie wiem.

Wolfram Alpha podaje, że rzeczywiście 6. To nie jest ten sprytny sposób

Jeśli narysujemy wykres funkcji podcałkowej, to mamy \(\displaystyle{ f(0)=1,\;f(2)=5}\). Jeśli funkcję podcałkową zastąpimy prostą interpolującą w punktach \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 2}\), to powstanie trapez, także o polu 6 (funkcja podcałkowa jest dodatnia, więc oczywiście całka to pole obszaru pod tą krzywą).

Pomysł: może to jakoś wykorzystać, np. jakiś rodzaj symetrii wykresu względem prostej interpolującej?