Całka i długość łuku krzywej

[zur121]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań:
1) Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{(3e^x - 1)e^x}{e^{2x}-2e^x+2}}\)

2) Obliczyć długość łuku krzywej K:
\(\displaystyle{ x(t)=4+ \frac{1}{3}t^3}\)
\(\displaystyle{ y=2+ \frac{1}{2}t^2}\)
\(\displaystyle{ 0<t<1}\)

[JakimPL]

1. \(\displaystyle{ t=e^x}\)

[zur121]

No to po podstawieniu
\(\displaystyle{ t=e^x}\)
otrzymuję postać całki:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{3t-1}{t^2-2t+2}dt}\)
I co dalej z tym fantem zrobić?

[Psiaczek]

No to po podstawieniu
\(\displaystyle{ t=e^x}\)
otrzymuję postać całki:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{3t-1}{t^2-2t+2}dt}\)
I co dalej z tym fantem zrobić?

Rozbij na dwie całki tak aby w jednej licznik był pochodna mianownika, a w drugiej wykorzystasz po małych przekształceniach całke związana z arcus tangensem.

\(\displaystyle{ t ^{2}-2t+2=1+(t-1) ^{2}}\)

[JakimPL]

Sprowadzić licznik do pochodnej \(\displaystyle{ 2t-2}\) i wydzielić do osobnej całki resztę:

\(\displaystyle{ \int \frac{3t-1}{t^2-2t+2} \mbox{d}t = \int \frac{3t-3+2}{t^2-2t+2} \mbox{d}t=\frac{3}{2}\int \frac{2t-2+\frac{4}{3}}{t^2-2t+2} \mbox{d}t = \frac{3}{2}\int \frac{2t-2}{t^2-2t+2} \mbox{d}t+\frac{3}{2}\int \frac{\frac{4}{3}}{t^2-2t+2} \mbox{d}t=\ldots}\)

Dalej tak, jak mówi Psiaczek.

[zur121]

Dzięki Panowie. A jakieś wskazówki co do drugiego zadania?

[Psiaczek]

Dzięki Panowie. A jakieś wskazówki co do drugiego zadania?

tak w pamięci to licząc wydaje mi się że to nic strasznego, dojdziesz do calki chyba z czegoś takiego:

\(\displaystyle{ t \sqrt{1+t ^{2} }}\) , podstawisz za wyrażenie podpierwiastkowe nową zmienna i ładnie pójdzie