Całka oznaczona

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
the hell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 9 lut 2010, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 3 razy

Całka oznaczona

Post autor: the hell »

Witam, jak zwykle piszę z problemami...

\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} \frac{dx}{ \sqrt{3+2x-x^2} } = \int_{1}^{2} \frac{dx}{ \sqrt{-x^{2}+2x+3} } = \int_{1}^{2} \frac{dx}{ \sqrt{(x-1)^{2}+4} } = \left| t = x-1 \Rightarrow dt = dx \right| = \int_{0}^{1} \frac{dt}{ \sqrt{t^{2} + 4} } = \int_{0}^{1} \frac{dt}{t+2} = \left| z = t+4 \Rightarrow dz = dt \right| = \int_{0}^{1} \frac{dz}{z} = ln|z| ^{1} _{0} = ln1 - ln0}\)

Jest to zadanie z Krysickiego i według tamtych odpowiedzi powinno być rozwiązanie z arcusem sinus. Wiem że to co namodziłem jest źle, tylko nie widzę błędu :/
Ostatnio zmieniony 10 mar 2011, o 21:50 przez the hell, łącznie zmieniany 2 razy.
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Całka oznaczona

Post autor: Chromosom »

po drugim znaku rownosci masz blad. przeksztalc do takiej postaci zeby wykorzystac pochodna arcus sinus
the hell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 9 lut 2010, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 3 razy

Całka oznaczona

Post autor: the hell »

No wiem, tylko niezbyt umiem do tego dojść :/ Stworzyłem takiego potwora:

\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} \frac{dx}{ \sqrt{(-x^{2}+1)(1-2x^ \frac{1}{2}) + 2 + 2x^ \frac{1}{2} } }}\)
ale co dalej to już nie mam pojęcia :/
Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy

Całka oznaczona

Post autor: Psiaczek »

Wskazówka:
\(\displaystyle{ -x ^{2}+2x+3=-(x ^{2}-2x+1)+4=4-(x-1) ^{2}}\)
chris_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 478
Rejestracja: 6 lut 2011, o 10:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa / Radom
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 64 razy

Całka oznaczona

Post autor: chris_ »

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{4-(x-1) ^{2}} } = \int \frac{d\frac{x}{2}}{ \sqrt{1-\left( \frac{x-1}{2}\right) ^{2}} }}\)

masz swój \(\displaystyle{ \arcsin}\)
the hell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 9 lut 2010, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 3 razy

Całka oznaczona

Post autor: the hell »

Dziękuję po podstawieniu \(\displaystyle{ t^2}\) i zastosowaniu wzoru \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)}\) wyszło \(\displaystyle{ \frac{\pi }{6}}\) czyli tak jak w Krysickim
ODPOWIEDZ