Witam!
Mam do policzenia coś takiego.
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{3} \frac{ x^{2}dx }{ \sqrt{\left( x+1\right) \left( 3-x\right) } }}\)
Oto do czego doszedłem:
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{3} \frac{ x^{2}dx }{ \sqrt{\left( x+1\right) \left( 3-x\right) } } = \int_{-1}^{a} \frac{ x^{2}dx }{ \sqrt{\left( x+1\right) \left( 3-x\right) } } + \int_{a}^{3} \frac{ x^{2}dx }{ \sqrt{\left( x+1\right) \left( 3-x\right) } }}\)
Dalej rozbijam to na dwie granice i biorę a równe 1 (np)
\(\displaystyle{ \lim_{ b\to -1^{+} } \int_{b}^{1} \frac{ x^{2}dx }{ \sqrt{\left( x+1\right) \left( 3-x\right) } } + \lim_{ c\to 3^{-} } \int_{1}^{c} \frac{ x^{2}dx }{ \sqrt{\left( x+1\right) \left( 3-x\right) } }}\)
Teraz zajmuje się pierwszą całką:
\(\displaystyle{ \int_{b}^{1} \frac{ x^{2}dx }{ \sqrt{\left( x+1\right) \left( 3-x\right) } }}\)
Tutaj korzystam z jakiegoś podstawienia którego nazwy nie pamiętam ( kojarzy ktoś?)
\(\displaystyle{ t\left( x+1\right) = \sqrt{\left( x+1\right)\left( 3-x\right) }}\)
Podnoszę obie strony do kwadratu i skracam \(\displaystyle{ x+1}\)
\(\displaystyle{ t^{2} \left( x+1\right) = 3-x}\)
Z tego wyliczam \(\displaystyle{ x}\), który wychodzi \(\displaystyle{ \frac{3-t}{t^{2} +1}}\)
Liczę pochodną dx, która wychodzi \(\displaystyle{ \frac{-t^{2} +6t +1}{ \left( t^{2}+1 \right) ^{2} }}\)
Dalej zmieniam granice całkowania, wyliczam mianownik, czyli\(\displaystyle{ t(x+1)}\), gdzie w miejsce x wstawiam to co wyliczyłem. Tu się powinno poskracać i wyjść coś sensownego. Ale nie wychodzi.
Ma ktoś jakiś pomysł?
