całka niewłaściwa z ln w indeksach

[dzidziuniaa]

robię przykład \(\displaystyle{ \int_{ln2}^{ln4} \frac{e ^{x} }{e ^{x} -3}}\) i doszłam do obliczenia całki nieoznaczonej, co wychodzi \(\displaystyle{ ln\left| e ^{x} -3\right|}\) ale jak zwykle mam problem z rozdzieleniem granic, bo podejrzewam, ze bez tego ani rusz?

[kristoffwp]

x=ln3 jest miejscem zerowym mianownika, trzeba to rozbić.

[dzidziuniaa]

czyli \(\displaystyle{ \lim_{ \alpha \to ln3} \int_{ln2}^{ \alpha } i \lim_{ \alpha \to ln3} \int_{ \alpha }^{ln4}}\) ?

[Crizz]

Zjadłaś \(\displaystyle{ dx}\)

Poważniejszym błędem jest natomiast liczenie granic zwykłych zamiast odpowiednio granicy lewostronnej i prawostronnej, bo granice zwykłe wcale nie muszą istnieć.

[dzidziuniaa]

o sorry:)

tzn, że nie zawsze można stosować tę metodę dochodzenia - całka nieozn. - całka ozn. - granica? A w jakich przypadkach to się nie sprawdza i co trzeba zrobić z tym przykładem?

[Crizz]

Hmm... nie bardzo rozumiem. W zasadzie zawsze liczysz całkę nieoznaczoną, potem odpowiednie granice z całkami oznaczonymi (tylko zawsze prawostronne lub lewostronne, a nie zwykłe - tu powinno być \(\displaystyle{ \lim_{ \alpha \to ln3^{-}} \int_{ln2}^{ \alpha } i \lim_{ \alpha \to ln3^{+}} \int_{ \alpha }^{ln4}}\)). Gdyby któraś z tych prawostronnych/lewostronnych granic nie istniała - to trudno, całki wyjściowej nie da sie policzyć.

[dzidziuniaa]

ok, więc jadę dalej:
\(\displaystyle{ \lim_{ \alpha \to \ln3^{-}} \int_{\ln2}^{ \alpha } \ln\left| e ^{ x } -3\right|= \ln\left| e ^{ 3 ^{-} } -3\right|- \ln \left| e ^{\ln2} -3 \right|+ \lim_{ \alpha \to \ln3^{+}} \int_{ \alpha }^{\ln4} \ln\left| e ^{\ln3 ^{+}-3 } \right|- \ln\left| e ^{\ln4}-3 \right|}\) ale to już wyższy poziom magii...i nic nie ruszę dalej:(