Długość łuku krzywej opisanej równaniami parametrycznymi

[Monet]

Zad.
Obliczyć długość łuku krzywej: \(\displaystyle{ x=a \cos^4{t}}\), \(\displaystyle{ y=a \sin^4{t}}\) w przedziale \(\displaystyle{ 0 \le t \le \frac{\pi}{2}.}\)

\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=-4a\sin{t} \cos^3{t}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dt}=4a\sin^3{t} \cos{t}}\)

\(\displaystyle{ L= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(-4a\sin{t} \cos^3{t})^2+(4a\sin^3{t} \cos{t})^2}dt=4a \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin^2{t} \cdot \cos^6{t}+\sin^6{t} \cdot \cos^2{t}}dt=...}\)

No i nie wiem jak mam dalej pociągnąć tą całkę.
Bardzo proszę o pomoc.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \left|a \right|}\) powinien być na końcu.

No teraz uporządkuj to co masz pod pierwiastkiem

[Monet]

\(\displaystyle{ ...=4|a| \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin^2{t} \cdot \cos^2{t}(\sin^4{t}+\cos^4{t})}dt=
4|a| \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{1}{4}\sin^2{2t}(1-\frac{1}{2}\sin^4{2t})}dt=
4\left| a\right| \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2} |\sin{2t}| \sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2{2t}}dt=...}\)

No uporządkowałem i poprzekształcałem, może jakaś podpowiedź, jak sobie z tym dalej poradzić?

[miodzio1988]

Jedynka trygonometryczna i podstawiasz za :

\(\displaystyle{ w= \cos {2t}}\)

Zostaje Ci całka z pierwiastka.

[Monet]

Dziękuję bardzo za pomoc, a mam jeszcze pytanie : Mam takie zadanie:
Obliczyć długość łuku:\(\displaystyle{ x=a\cos^5{t}}\),\(\displaystyle{ y=a\sin^5{t}}\), w przedziale \(\displaystyle{ 0<x<a}\).

W taki przypadku \(\displaystyle{ t_1=x(0)}\), \(\displaystyle{ t_2=x(a)}\). Dobrze myślę?

[miodzio1988]

Dziękuję bardzo za pomoc, a mam jeszcze pytanie : Mam takie zadanie:
Obliczyć długość łuku:\(\displaystyle{ x=a\cos^5{t}}\),\(\displaystyle{ y=a\sin^5{t}}\), w przedziale \(\displaystyle{ 0<x<a}\).

W taki przypadku \(\displaystyle{ t_1=x(0)}\), \(\displaystyle{ t_2=x(a)}\). Dobrze myślę?

A nie powinno być \(\displaystyle{ 0<t<a}\)?

[Monet]

No możliwe bo to zadanie z Krysickiego, a tam często się zdarzają. Więc pewnie tak, jeszcze raz dzięki.