Zad.
Obliczyć całki:
1.\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x^2-x+1}}}\)
2. \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{x^2 (x+\sqrt{1+x^2)}}}\)
3.\(\displaystyle{ \int{\frac{\sqrt{1+x^2}}{2+x^2}} dx}\)
4.\(\displaystyle{ \int{\frac{x-1}{x^2\sqrt{2x^2-2x+1}}}}\)
Bardzo bym prosił tylko o pokazanie, jak dojść do postaci całki, żeby można było ją obliczyć np. metoda współczynników nieoznaczonych.
Całki niewymierne- przykłady
-
M Ciesielski
- Użytkownik
- Posty: 2524
- Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 302 razy
Całki niewymierne- przykłady
Najlepiej od razu podstawienia Eulera. Jeśli mariuszm tu zajrzy to pewnie wyjaśni dokładniej, na razie spróbuj poczytać tutaj (właściwie tylko to jest Ci potrzebne):
Patrzysz na ten pierwiastek i sprawdzasz które podstawienie najlepiej pasuje. Wyznaczasz z podstawienia \(\displaystyle{ x}\), obliczasz \(\displaystyle{ \mbox{d}x}\), wstawiasz do całki, upraszczasz, obliczasz całkę z funkcji wymiernej i gra - to tak w skrócie.
Patrzysz na ten pierwiastek i sprawdzasz które podstawienie najlepiej pasuje. Wyznaczasz z podstawienia \(\displaystyle{ x}\), obliczasz \(\displaystyle{ \mbox{d}x}\), wstawiasz do całki, upraszczasz, obliczasz całkę z funkcji wymiernej i gra - to tak w skrócie.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Całki niewymierne- przykłady
Skoro M Ciesielski, mnie już wywołał to napiszę coś o podstawieniach
Eulera
Jeżeli całkę da się sprowadzić do postaci
\(\displaystyle{ \int{R\left( x, \sqrt{ax^2+bx+c} \right) }}\)
gdzie R jest pewną funkcją wymierną
to podstawienia Eulera sprowadzą powyższą całkę
do całki z funkcji wymiernej
Pierwsze podstawienia Eulera
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=t- \sqrt{a}x}\)
lub
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=t+ \sqrt{a}x}\)
gdzie \(\displaystyle{ a>0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=t- \sqrt{a}x\\
ax^2+bx+c=t^2-2 \sqrt{a}xt+ax^2\\
bx+c=t^2-2 \sqrt{a}xt\\
t^2-c=x\left( 2 \sqrt{a}t+b\right) \\
x= \frac{t^2-c}{2 \sqrt{a}t+b}\\
\mbox{d}x = \frac{2t\left( 2 \sqrt{a}t+b \right)-\left( t^2-c\right) \cdot 2 \sqrt{a} }{\left( 2 \sqrt{a}t+b \right)^2 } \mbox{d}t\\
\mbox{d}x = \frac{4 \sqrt{a}t^2+2bt - 2 \sqrt{a} t^2+2 \sqrt{a} c }{\left( 2 \sqrt{a}t+b \right)^2 } \mbox{d}t\\
\mbox{d}x = \frac{2 \sqrt{a}t^2+2bt +2 \sqrt{a} c }{\left( 2 \sqrt{a}t+b \right)^2 } \mbox{d}t\\
\sqrt{ax^2+bx+c}=t- \frac{t^2-c}{2 \sqrt{a}t+b} = \frac{2 \sqrt{a}t^2+bt-t^2+c }{2 \sqrt{a}t+b }= \frac{\left( 2 \sqrt{a}-1 \right)t^2+bt+c }{2 \sqrt{a}t+b } \\}\)
Drugie podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=xt+ \sqrt{c}}\)
lub
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=xt- \sqrt{c}}\)
gdy \(\displaystyle{ c>0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=xt+ \sqrt{c}\\
ax^2+bx+c=x^2t^2+2 \sqrt{c} xt +c\\
ax^2+bx=x^2t^2+2xt\\
ax+b=xt^2+2t\\
2t-b==ax-xt^2\\
x= \frac{2t-b}{a-t^2}\\
\mbox{d}x = \frac{2\left( a-t^2\right)+2t\left( 2t-b\right) }{\left( a-t^2\right)^2 } \mbox{d}t\\
\mbox{d}x= \frac{2t^2-2bt+2a}{\left( a-t^2\right)^2 } \mbox{d}t\\
\sqrt{ax^2+bx+c}= \frac{2t^2-bt+a \sqrt{c}- \sqrt{c}t^2 }{a-t^2}\\
\sqrt{ax^2+bx+c}= \frac{\left( 2- \sqrt{c} \right)t^2 -bt+a \sqrt{c} }{a-t^2}\\}\)
Trzecie podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=\left( x-x_{1}\right)t}\)
lub
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=\left( x-x_{2}\right)t}\)
gdzie \(\displaystyle{ b^2-4ac>0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a\left( x-x_{1}\right)\left( x-x_{2}\right) }=\left( x-x_{1}\right)t\\
a\left( x-x_{1}\right)\left( x-x_{2}\right)=\left( x-x_{1}\right)^2t^2\\
ax-ax_{2}=\left( x-x_{1}\right)t^2\\
ax-ax_{2}=xt^2-x_{1}t^2\\
xt^2-ax=x_{1}t^2-ax_{2}\\
x= \frac{x_{1}t^2-ax_{2}}{t^2-a}\\
x=x_{1}+ \frac{ax_{1}-ax_{2}}{t^2-a}\\
\mbox{d}x =-2at\left( x_{1}-x_{2}\right) \cdot \left( t^2-a\right)^{-2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x = \frac{-2at\left( x_{1}-x_{2}\right) }{\left( t^2-a\right)^2 } \mbox{d}t\\
\sqrt{ax^2+bx+c}= \frac{a\left( x_{1}-x_{2}\right)t }{t^2-a}}\)
W pierwszych trzech całkach zastosuj pierwsze podstawienie
w czwartej ja bym sprawdził najpierw drugie a jeśli dostałbym
dość skomplikowaną całkę to spróbowałbym pierwszego
Co by tu jeszcze napisać ?
Dlaczego akurat takie działają
Jakie są kryteria najlepszego wyboru gdy można zastosować
więcej niż jedno podstawienie
Jeżeli chodzi o wybór podstawienia to czasami staram się przewidzieć postać
funkcji pierwotnej i na tej podstawie dobieram odpowiednie podstawienie
a czasami po prostu sprawdzam po kolei które podstawienie będzie najlepiej pasować
M Ciesielski jeśli zauważysz gdzieś błąd to
możesz mi wyedytować wiadomość
A parę błędów się znajdzie (senny byłem i z braku papieru od razu w texu pisałem)
Na marginesie mogę dodać że to ostrzeżenie które teraz mam jest związane właśnie z
podstawieniami Eulera a właściwie z tym że napisałem iż Qń nie do końca pisał na temat
-- 28 listopada 2010, 13:10 --
\(\displaystyle{ \int{\frac{\sqrt{1+x^2}}{2+x^2}} dx}\)
Powyższą całkę można policzyć stosując obydwa możliwe podstawienia Eulera
\(\displaystyle{ \int{\frac{\sqrt{1+x^2}}{2+x^2}} dx=\\
\int{\frac{1+x^2}{\left( 2+x^2\right) \sqrt{1+x^2} }} dx\\
\int{\frac{2+x^2-1}{\left( 2+x^2\right) \sqrt{1+x^2} }} dx\\}\)
\(\displaystyle{ = \int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{1+x^2} } }- \int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( 2+x^2\right) \sqrt{1+x^2}} }}\)
Pierwszą całkę najlepiej policzyć pierwszym podstawieniem Eulera
Drugą całkę można policzyć drugim podstawieniem Eulera
-- 28 listopada 2010, 15:13 --
M Ciesielski, to są całki z Banasia
całka 115
całka 116
całka 122
całka 123
Na szczęście w tych całkach można stosować podstawienia Eulera
W całkach 71-87 nie można było stosować podstawień Eulera
Całki były tej samej postaci ale podstawienia Eulera były zakazane treścią zadania
(Trzeba było wtedy zwijać trójmian do postaci kanonicznej i stosować inne podstawienia
np cyklometryczne lub jeśli dało radę to po zwinięciu do postaci kanonicznej całkować przez części)
Eulera
Jeżeli całkę da się sprowadzić do postaci
\(\displaystyle{ \int{R\left( x, \sqrt{ax^2+bx+c} \right) }}\)
gdzie R jest pewną funkcją wymierną
to podstawienia Eulera sprowadzą powyższą całkę
do całki z funkcji wymiernej
Pierwsze podstawienia Eulera
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=t- \sqrt{a}x}\)
lub
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=t+ \sqrt{a}x}\)
gdzie \(\displaystyle{ a>0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=t- \sqrt{a}x\\
ax^2+bx+c=t^2-2 \sqrt{a}xt+ax^2\\
bx+c=t^2-2 \sqrt{a}xt\\
t^2-c=x\left( 2 \sqrt{a}t+b\right) \\
x= \frac{t^2-c}{2 \sqrt{a}t+b}\\
\mbox{d}x = \frac{2t\left( 2 \sqrt{a}t+b \right)-\left( t^2-c\right) \cdot 2 \sqrt{a} }{\left( 2 \sqrt{a}t+b \right)^2 } \mbox{d}t\\
\mbox{d}x = \frac{4 \sqrt{a}t^2+2bt - 2 \sqrt{a} t^2+2 \sqrt{a} c }{\left( 2 \sqrt{a}t+b \right)^2 } \mbox{d}t\\
\mbox{d}x = \frac{2 \sqrt{a}t^2+2bt +2 \sqrt{a} c }{\left( 2 \sqrt{a}t+b \right)^2 } \mbox{d}t\\
\sqrt{ax^2+bx+c}=t- \frac{t^2-c}{2 \sqrt{a}t+b} = \frac{2 \sqrt{a}t^2+bt-t^2+c }{2 \sqrt{a}t+b }= \frac{\left( 2 \sqrt{a}-1 \right)t^2+bt+c }{2 \sqrt{a}t+b } \\}\)
Drugie podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=xt+ \sqrt{c}}\)
lub
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=xt- \sqrt{c}}\)
gdy \(\displaystyle{ c>0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=xt+ \sqrt{c}\\
ax^2+bx+c=x^2t^2+2 \sqrt{c} xt +c\\
ax^2+bx=x^2t^2+2xt\\
ax+b=xt^2+2t\\
2t-b==ax-xt^2\\
x= \frac{2t-b}{a-t^2}\\
\mbox{d}x = \frac{2\left( a-t^2\right)+2t\left( 2t-b\right) }{\left( a-t^2\right)^2 } \mbox{d}t\\
\mbox{d}x= \frac{2t^2-2bt+2a}{\left( a-t^2\right)^2 } \mbox{d}t\\
\sqrt{ax^2+bx+c}= \frac{2t^2-bt+a \sqrt{c}- \sqrt{c}t^2 }{a-t^2}\\
\sqrt{ax^2+bx+c}= \frac{\left( 2- \sqrt{c} \right)t^2 -bt+a \sqrt{c} }{a-t^2}\\}\)
Trzecie podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=\left( x-x_{1}\right)t}\)
lub
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=\left( x-x_{2}\right)t}\)
gdzie \(\displaystyle{ b^2-4ac>0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a\left( x-x_{1}\right)\left( x-x_{2}\right) }=\left( x-x_{1}\right)t\\
a\left( x-x_{1}\right)\left( x-x_{2}\right)=\left( x-x_{1}\right)^2t^2\\
ax-ax_{2}=\left( x-x_{1}\right)t^2\\
ax-ax_{2}=xt^2-x_{1}t^2\\
xt^2-ax=x_{1}t^2-ax_{2}\\
x= \frac{x_{1}t^2-ax_{2}}{t^2-a}\\
x=x_{1}+ \frac{ax_{1}-ax_{2}}{t^2-a}\\
\mbox{d}x =-2at\left( x_{1}-x_{2}\right) \cdot \left( t^2-a\right)^{-2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x = \frac{-2at\left( x_{1}-x_{2}\right) }{\left( t^2-a\right)^2 } \mbox{d}t\\
\sqrt{ax^2+bx+c}= \frac{a\left( x_{1}-x_{2}\right)t }{t^2-a}}\)
W pierwszych trzech całkach zastosuj pierwsze podstawienie
w czwartej ja bym sprawdził najpierw drugie a jeśli dostałbym
dość skomplikowaną całkę to spróbowałbym pierwszego
Co by tu jeszcze napisać ?
Dlaczego akurat takie działają
Jakie są kryteria najlepszego wyboru gdy można zastosować
więcej niż jedno podstawienie
Jeżeli chodzi o wybór podstawienia to czasami staram się przewidzieć postać
funkcji pierwotnej i na tej podstawie dobieram odpowiednie podstawienie
a czasami po prostu sprawdzam po kolei które podstawienie będzie najlepiej pasować
M Ciesielski jeśli zauważysz gdzieś błąd to
możesz mi wyedytować wiadomość
A parę błędów się znajdzie (senny byłem i z braku papieru od razu w texu pisałem)
Na marginesie mogę dodać że to ostrzeżenie które teraz mam jest związane właśnie z
podstawieniami Eulera a właściwie z tym że napisałem iż Qń nie do końca pisał na temat
-- 28 listopada 2010, 13:10 --
\(\displaystyle{ \int{\frac{\sqrt{1+x^2}}{2+x^2}} dx}\)
Powyższą całkę można policzyć stosując obydwa możliwe podstawienia Eulera
\(\displaystyle{ \int{\frac{\sqrt{1+x^2}}{2+x^2}} dx=\\
\int{\frac{1+x^2}{\left( 2+x^2\right) \sqrt{1+x^2} }} dx\\
\int{\frac{2+x^2-1}{\left( 2+x^2\right) \sqrt{1+x^2} }} dx\\}\)
\(\displaystyle{ = \int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{1+x^2} } }- \int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( 2+x^2\right) \sqrt{1+x^2}} }}\)
Pierwszą całkę najlepiej policzyć pierwszym podstawieniem Eulera
Drugą całkę można policzyć drugim podstawieniem Eulera
-- 28 listopada 2010, 15:13 --
M Ciesielski, to są całki z Banasia
całka 115
całka 116
całka 122
całka 123
Na szczęście w tych całkach można stosować podstawienia Eulera
W całkach 71-87 nie można było stosować podstawień Eulera
Całki były tej samej postaci ale podstawienia Eulera były zakazane treścią zadania
(Trzeba było wtedy zwijać trójmian do postaci kanonicznej i stosować inne podstawienia
np cyklometryczne lub jeśli dało radę to po zwinięciu do postaci kanonicznej całkować przez części)