oblicz pole obzsaru ograniczone krzywymi

beavisboss · Post autor: **beavisboss** » 4 lis 2010, o 20:14

Mam problem z polem ograniczonym dwoma krzywymi, szczególnie mam problem z rysunkiem. To będzie parabola z przesunięciem i linia prosta ale wyleciało mi całkowicie z głowy jak się za to zabrać
\(\displaystyle{ y=x^{2}+3}\) , \(\displaystyle{ y=4}\)

Post autor: **Chromosom** » 4 lis 2010, o 20:19

tak, parabola przesunieta o 3 jednostki w gore i linia prosta - potrafisz wyznaczyc ich punkty prezciecia?

mariolawiki1 · Post autor: **mariolawiki1** » 4 lis 2010, o 20:21

Parabola \(\displaystyle{ y=x^2}\) ma wierzchołek w punkcie (0,0)
Skoro masz wykres: \(\displaystyle{ y=x^2+3}\) , przesuwasz ją do góry o 3 wzdłuż osi y.
Pozdrawiam

beavisboss · Post autor: **beavisboss** » 4 lis 2010, o 23:08

Może trywialne pytanie ale proszę wytłumaczyć co w całce będzie górą, dołem z góry dziękuję
bo całka z \(\displaystyle{ x^{2}}\) wiem jaka jest ale samego systemu co się bierze i kiedy za górę i dół, jako że linią prostą jest 4 a parabola została przesunięta w górę o 3 na osi Y to nasza całka będzie od dołu 0 a góra 4? I jak łączyć te dwie krzywe razem w całkę czy to tylko na punktach tych dolnych i górnych się wzoruje?

mariolawiki1 · Post autor: **mariolawiki1** » 4 lis 2010, o 23:30

Teraz musisz rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ y=x^2+3}\)
i
\(\displaystyle{ y=4}\)
Porównując stronami dochodzisz do postaci:
\(\displaystyle{ x^2+3=4 \Rightarrow x^2+3-4=0}\), co musisz rozwiązać, aby znaleźć "górę" i "dół".

\(\displaystyle{ x^2-1=0 \Rightarrow (x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1 \vee x=1}\)
Całka więc będzie z dołu ograniczona \(\displaystyle{ -1}\), a z góry \(\displaystyle{ 1}\).
Pozdrawiam

beavisboss · Post autor: **beavisboss** » 5 lis 2010, o 00:02

Więc tak?
\(\displaystyle{ \int\limits_{-1}^{1} (x^{2}-1)dx=\frac{1^{3}}{3}-1-(\frac{-1^{3}}{3}+1)=\frac{1}{3}-1+\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}}\)

mariolawiki1 · Post autor: **mariolawiki1** » 5 lis 2010, o 00:49

Niezbyt dobrze umiem liczyć całki (dopiero zaczynam przygodę)
ogólna przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \int(x^2-1)dx= \int(x^2)dx- \int dx = \frac{1}{3} \cdot x^3-x+C}\)

Poza tym odejmując musisz sprawdzić, która funkcja przyjmuje większe wartości w tym przedziale \(\displaystyle{ (-1,1)}\), gdyż inaczej pole wyjdzie Ci ujemne.
Pozdrawiam

Edit
wydaje mi się, że źle zrobiłeś obliczenia, tam masz przed nawiasem minus, wynik wychodzi Ci ujemny, co jest niemożliwe, dlatego musisz odwrócić całkę i policzyć ją w postaci:
\(\displaystyle{ \int(1-x^2)dx}\)