Całka potrójna

[niou_ns]

Witam, na egzaminie miałem zadanie:

policzyć V za pomocą całki potrójnej \(\displaystyle{ \int\int\int}\), wiedząc że

\(\displaystyle{ z = 16 - \sqrt{ x^{2} + y^{2} }}\)
\(\displaystyle{ z = 4 + x^{2} + y^{2}}\)

Mógłbym prosić o rozwiązanie ?
Pozdrawiam

[Qń]

policzyć V za pomocą całki potrójnej \(\displaystyle{ \int\int\int}\), wiedząc że
\(\displaystyle{ z = 16 - \sqrt{ x^{2} + y^{2} }}\)
\(\displaystyle{ z = 4 + x^{2} + y^{2}}\)

Mam nadzieję, że nie jest to dosłownie przytoczona treść zadania, bo nie świadczyłoby to najlepiej o egzaminatorze. Domyślam się, że chodzi o zadanie:
Używając całki potrójnej znaleźć objętość obszaru ograniczonego powierzchniami:
\(\displaystyle{ z = 16 - \sqrt{ x^{2} + y^{2} }}\)
\(\displaystyle{ z = 4 + x^{2} + y^{2}}\)

Wskazówka:
\(\displaystyle{ V=\int\int\int_V 1dxdydv= \int\int_D [ (16 - \sqrt{ x^{2} + y^{2} })- ( 4 + x^{2} + y^{2})]dxdy}\)
gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest rzutem naszego obszaru na płaszczyznę \(\displaystyle{ OXY}\).

Żeby znaleźć rzut, trzeba wyobrazić sobie jak wyglądają dwie dane powierzchnie - są to dwa "nieskończone dzwony", jeden "wychylony" do góry, a drugi do dołu. Przecinają się wtedy gdy:
\(\displaystyle{ 16 - \sqrt{ x^{2} + y^{2} }=4 + x^{2} + y^{2}}\)
czyli gdy
\(\displaystyle{ x^2+y^2=9}\)

Stąd wiemy, że rzut \(\displaystyle{ D}\) to koło \(\displaystyle{ x^2+y^2 \leq 9}\). Pozostaje teraz przejść na współrzędne biegunowe, by obliczyć całkę podwójną.

Q.

[niou_ns]

Domyślam się, że chodzi o zadanie:
Używając całki potrójnej znaleźć objętość obszaru ograniczonego powierzchniami:
\(\displaystyle{ z = 16 - \sqrt{ x^{2} + y^{2} }}\)
\(\displaystyle{ z = 4 + x^{2} + y^{2}}\)

Wskazówka:
\(\displaystyle{ V=\int\int\int_V 1dxdydv= \int\int_D \left[ \left( 16 - \sqrt{ x^{2} + y^{2} } \right) - \left( 4 + x^{2} + y^{2} \right) \right] dxdy}\)
gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest rzutem naszego obszaru na płaszczyznę \(\displaystyle{ OXY}\).

Żeby znaleźć rzut, trzeba wyobrazić sobie jak wyglądają dwie dane powierzchnie - są to dwa "nieskończone dzwony", jeden "wychylony" do góry, a drugi do dołu. Przecinają się wtedy gdy:
\(\displaystyle{ 16 - \sqrt{ x^{2} + y^{2} }=4 + x^{2} + y^{2}}\)
czyli gdy
\(\displaystyle{ x^2+y^2=9}\)

Stąd wiemy, że rzut \(\displaystyle{ D}\) to koło \(\displaystyle{ x^2+y^2 \leq 9}\). Pozostaje teraz przejść na współrzędne biegunowe, by obliczyć całkę podwójną.

Q.

Ciąg dalszy:

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 = R^2\\
x^2 + y^2 = 9\\
R = 3\\

D:\begin{cases} 0\le r \le R\\0\le \phi \le 2\pi\end{cases}\\
\\
D:\begin{cases} 0\le r \le 3\\0\le \phi \le 2\pi\end{cases}\\

Współrzędne biegunowe:
x = r \cos \phi\\
y= r \sin \phi\\

\iint f \left( x,y \right) dxdy = \iint f \left( r \cos \phi, r \sin \phi \right) \cdot r dr d\phi \\

\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} \left[ \left( 16 - \sqrt{ \left( r \cos \phi \right) ^2 + \left( r \sin \phi \right) ^2} \right) - \left( 4 + \left( r \cos \phi \right) ^2 + \left( r \sin \phi \right) ^2 \right) \right] r dr d\phi =\\

= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} \left[ \left( 16 - \sqrt{r^2 \cos ^2\phi + r^2 \sin ^2\phi} \right) - \left( 4 + r^2 \cos ^2\phi + r^2 \sin ^2\phi \right) \right] r dr d\phi =\\

= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} \left[ \left( 16 - \sqrt{r^2 \left( \cos ^2\phi + \sin ^2\phi \right) } \right) - \left( 4 + r^2 \left( \cos ^2\phi + \sin ^2\phi \right) \right) \right] r dr d\phi =\\

\left( \cos ^2x + \sin ^2x = 1 \right)

= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} \left[ \left( 16 - \sqrt{r^2} \right) - \left( 4 + r^2 \right) \right] r dr d\phi =\\

= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} \left[ \left( 16 - r \right) - 4 - r^2 \right) \right] \cdot r dr d\phi =\\

= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} \left[ \left( 16 - \sqrt{r^2} \right) - \left( 4 + r^2 \right) \right] \cdot r dr d\phi =\\

= \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{3} \left( 12r - r^3 - r^2 dr \right) d\phi =\\

= \int_{0}^{2\pi} 6r^2 - \frac{1}{4}r^4 - \frac{1}{3} r^3 \left|^{3}_{0} d\phi =\\

= \int_{0}^{2\pi} \left( 54 - \frac{81}{4} - 9 \right) d\phi= \\

= \int_{0}^{2\pi} \frac{99}{4} d\phi =\\
= \frac{99}{4} \int_{0}^{2\pi} 1 d\phi = \\
= \frac{99}{4} \left( \phi \left|^{2\pi}_{0} \right) = \\
\frac{99}{4} \cdot 2\pi =\\ 49\frac{1}{2} \pi}\)

Mam nadzieję, że moje rozwiązanie jest poprawne.