Całka podwójna

[krfotok]

Pytanie:
Czy całkę\(\displaystyle{ \iint_{D} \frac{1}{x ^{x} +y ^{2} }}\)
Mogę zapisać (całkuję po y):
\(\displaystyle{ \int_{}^{} ln( x^{2}+ y^{2})}\) i teraz wstawić za y granice całkowania?

Mam problem z rozrysowaniem granic obszaru:
D:\(\displaystyle{ y \ge x; x^{2}+y ^{2 } \ge 1; x ^{2} +y ^{2} \ge 4}\)
Dwa okręgi, wychodzi coś takiego jak obwarzanek z \(\displaystyle{ 1 \le x \le 4}\), ale co z \(\displaystyle{ y \ge x}\)

a sama całka wygląda następująco:\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} ln( 1+x ^{2} +y ^{2})}\)
Czy mógłby mi ktoś doradzić?-- 10 wrz 2010, o 19:14 --Czy mogę liczyć na wsparcie kogoś mądrzejszego od siebie?

[Chromosom]

wnioskuje ze w miejscu gdzie bylo \(\displaystyle{ x^x}\) mialo byc \(\displaystyle{ x^2}\), nie mozesz w ten sposob zapisac bo \(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}y}{x^2+y^2}\neq\ln\left(x^2+y^2\right)}\), policz po prostu calke
\(\displaystyle{ \iint\limits_D\ln\left(1+x^2+y^2\right)\mbox{d}D}\) po odpowiednim obszarze (wykonaj rysunek) najlepiej przechodzac na wspolrzedne biegunowe.

[krfotok]

W takim razie, jak powinna wyglądać ta całka?
\(\displaystyle{ \frac{1}{x ^{2} }+ \frac{{y} ^{-1}} {-1}} = \frac{1}{x ^{2} } - \frac{1}{y}}\)?
Nie wiem,jak mam to rozpisać.
Przy drugiej całce wiem, że mam przejść na współrzędne biegunowe, ale nie wiem, jak narysować obszar, oprócz tego, że jest obwarzanek (który i tak nie wiem czy jest dobrze???)

[Chromosom]

nie, skoro sam napisales ze calka ma postac \(\displaystyle{ \iint\limits_D\ln\left(1+x^2+y^2\right)\mbox{d}D}\) to taka calke musisz obliczyc, calkujac po odpowiednim obszarze. Obszar uzyskasz, rysujac kolejno okregi: \(\displaystyle{ x^2+y^2=1,x^2+y^2=4}\) oraz prosta \(\displaystyle{ y=x}\)

[krfotok]

Pytanie:
Czy całkę\(\displaystyle{ \iint_{D} \frac{1}{x ^{2} +y ^{2} }}\)
Mogę zapisać (całkuję po y):
\(\displaystyle{ \int_{}^{} ln( x^{2}+ y^{2})}\) i teraz wstawić za y granice całkowania?

Nie jestem pewna, czy mnie dobrze zrozumiałeś...

[Chromosom]

nie mozesz w ten sposob zapisac bo \(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}y}{x^2+y^2}\neq\ln\left(x^2+y^2\right)}\)

[krfotok]

W takim razie, jak to należy przekształcić?

[Chromosom]

przejdz na wspolrzedne biegunowe

[krfotok]

Nie wydaje mi się, abym mogła tutaj przechodzić na współrzędne biegunowe, ponieważ obszar D: x=1, x=9, y=0,y=x
Nie ma tu mowy o okręgach...

[Chromosom]

pisz najlepiej od razu po jakich obszarach calkujesz w kazdym z zadan. W takim razie masz calke
\(\displaystyle{ \int\limits^9_1\int\limits^{y=x}_{y=0}\frac{1}{x^2+y^2}\mbox{d}x\mbox{d}y=\int\limits^9_1\frac{1}{x}\left(\int\limits^{y=x}_{y=0}\frac{1}{x}\frac{\mbox{d}y}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\right)\mbox{d}x}\)
obliczenie tej calki nie jest trudne

[krfotok]

Czy mógłbyś mi powiedzieć, skąd się to wzięło?

[Chromosom]

do obliczenia jest calka \(\displaystyle{ \iint\limits_D\frac{1}{x^2+y^2}\mbox{d}x\mbox{d}y}\) po podanym przez Ciebie obszarze - wystarczy narysowac ten obszar i wyznaczyc granice

[krfotok]

Owszem, to wiem. Ale inetresuje mnie, skąd wziąłęs :
\(\displaystyle{ \int\limits^9_1\int\limits^{y=x}_{y=0}\frac{1}{x^2+y^2}\mbox{d}x\mbox{d}y=\int\limits^9_1\frac{1}{x}\left(\int\limits^{y=x}_{y=0}\frac{1}{x}\frac{\mbox{d}y}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\right)\mbox{d}x}\)

-- 10 wrz 2010, o 21:13 --

Szczególnie ten zapis:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \frac{1}{x} \frac{dy}{1+( \frac{y}{x}) ^{2} }}\) ?

Ale skąd ułamek :
\(\displaystyle{ \frac{dy}{1+ (\frac{y}{x}) ^{2} }}\)

[Chromosom]

poniewaz w wewnetrznej calce calkujemy po \(\displaystyle{ y}\), a wiec przed calke mozna wyciagnac dowolna zmienna nie bioraca udzialu w calkowaniu (tutaj \(\displaystyle{ x}\))

[krfotok]

Ale skąd ułamek :
\(\displaystyle{ \frac{dy}{1+ (\frac{y}{x}) ^{2} }}\)