Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int\frac{x \arcsin x}{ \sqrt{1-x ^{2}} } \mbox{d}x}\) zupelnie nie wiem jak sie do tego zabrac

przez czesci gdzie \(\displaystyle{ u^\prime=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\)

Przyłączam się ;/ Mógłby ktoś chociaż trochę to rozpisać? Będę bardzo wdzięczny.

\(\displaystyle{ f(x)=\arcsin{x} \quad f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)

\(\displaystyle{ g'(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \quad g(x)=-\sqrt{1-x^2}}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{x \arcsin x}{ \sqrt{1-x ^{2}} }dx=-\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}+\int dx}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{x \arcsin x}{ \sqrt{1-x ^{2}} }dx=x-\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}+C, \quad C \in \mathbb{R}}\)

Dzięki

A jeszcze mam pytanie dość ogólne. Jak "szybko" obliczyć g(x) mając g`? I podpowiedź jak wpadłeś na ten pomysł ;/ Doświadczenie? Czy jakieś twierdzenie lub wzór jest?

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx =\left|\begin{array}{cc} 1-x^2=t^2 \\\ xdx=-tdt \end{array}\right|=\int \frac{-t}{t}dt=}\)

\(\displaystyle{ =-t+C=-\sqrt{1-x^2}+C, \quad C \in \mathbb{R}}\)