Witam. Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu zadań całek Eulera. Ponożej znajdują się przykładowe zadania. Potrzebuje pomocy jak dojść do podanych rozwiązań. Niestety nie potrafimy sobie z nimi poradzić. Gdyby ktoś mógł być tak dobry i zobaczyć. Dobry chociaż jeden przykład. Z góry dziękuje
850.4: \(\displaystyle{ \Gamma(n) \ = \ (n-1)!}\), when n is an integer > 0
851.2: \(\displaystyle{ log \ \Gamma(1+x) \ = \frac{1}{2} log \frac{x \pi }{sin \ x \pi }-Cx- \frac{S _{3} x ^{3} }{3}- \frac{S _{5} x ^{5} }{5}-...}\)
852.1: \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } e ^{-x} log \ x \ dx = \ -C}\), where C =0.577 2157, as in 851.1
852.2: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}log \ (lox \ x)dx \ = -C}\)
852.3: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} ( \frac{1}{log \ x} \ + \ \frac{1}{1-x})dx \ =C}\)
852.4 \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{1}{x} ( \frac{1}{1+ x^{2} } - e ^{-x})dx \ =C}\)
852.5: \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } ( \frac{1}{e ^{x} -1}- \frac{1}{xe ^{x} } )dx \ = C}\)
i852.2: If n is a positive integer, \(\displaystyle{ \Pi(n) \ = n!}\)
853.3: \(\displaystyle{ \Pi(0) \ = 1}\)
865.4: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} x ^{2a-1} \ log(1+x)dx \ = \ \frac{1}{2a} \sum_{n=1}^{2a} \frac{(-1) ^{n-1} }{n}}\)
Całki Eulera
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Całki Eulera
Jeżeli użyjemy znanego związku \(\displaystyle{ \Gamma ' (1) = - \gamma}\) czy tam C, to 3 i 4 przykład idą od razu - kwestia odpowiedniego podstawienia i różniczkowania pod znakiem całki.
8 i 9 - skoro \(\displaystyle{ \Pi (z) = \Gamma (z+1)}\), to przykłady są wręcz oczywiste.
Poza tym ogólnie całki się tu powtarzają - zastosowano odpowiednie podstawienia i tylko forma jest inna. Przejrzyj np. ... stant.html .
8 i 9 - skoro \(\displaystyle{ \Pi (z) = \Gamma (z+1)}\), to przykłady są wręcz oczywiste.
Poza tym ogólnie całki się tu powtarzają - zastosowano odpowiednie podstawienia i tylko forma jest inna. Przejrzyj np. ... stant.html .
Całki Eulera
dzieki wielkie za pomoc podaje jeszcze kilka przykładów. gdyby ktoś mógł jeszcze pomóc byłbym bardzo wdzięczny.
866.1: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(log \frac{1}{x} )^{\frac{1}{2}} dx \ = \frac{\sqrt{ \pi }}{2} }}\)
866.2: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(log \frac{1}{x} )^{-\frac{1}{2}} dx \ = \sqrt{ \pi }}\)
867.1: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} log \ x \ log (1+x)dx \ = 2-2 \ log \ 2 \ - \frac{ \pi ^{2} }{12}}\)
867.2: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} log \ x \ log (1-x)dx \ = 2- \frac{ \pi ^{2} }{6}}\)
867.3: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} x \ log (1+x)dx \ = \frac{1}{4}}\)
867.4: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x \ log (1-x)dx \ = - \frac{3}{4}}\)
867.5: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x \ log \ x \ log (1+x)dx \ = \frac{ \pi ^{2} }{24} - \frac{1}{2}}\)
867.6: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x \ log \ x \ log (1-x)dx \ = 1 - \frac{ \pi ^{2} }{12}}\)
867.7: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(1+x) \ log \ x \ log (1+x)dx \ = \frac{3}{2} - 2 \ log \ 2 - \frac{ \pi ^{2} }{24}}\)
867.8: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(1-x) \ log \ x \ log (1-x)dx \ = \ 1 - \frac{ \pi ^{2} }{12}}\)
875.1: \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } e ^{-ax} J _{0}(bx)dx \ = \frac{1}{ \sqrt{(a ^{2} +b ^{2}) } }}\)
866.1: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(log \frac{1}{x} )^{\frac{1}{2}} dx \ = \frac{\sqrt{ \pi }}{2} }}\)
866.2: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(log \frac{1}{x} )^{-\frac{1}{2}} dx \ = \sqrt{ \pi }}\)
867.1: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} log \ x \ log (1+x)dx \ = 2-2 \ log \ 2 \ - \frac{ \pi ^{2} }{12}}\)
867.2: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} log \ x \ log (1-x)dx \ = 2- \frac{ \pi ^{2} }{6}}\)
867.3: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} x \ log (1+x)dx \ = \frac{1}{4}}\)
867.4: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x \ log (1-x)dx \ = - \frac{3}{4}}\)
867.5: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x \ log \ x \ log (1+x)dx \ = \frac{ \pi ^{2} }{24} - \frac{1}{2}}\)
867.6: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x \ log \ x \ log (1-x)dx \ = 1 - \frac{ \pi ^{2} }{12}}\)
867.7: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(1+x) \ log \ x \ log (1+x)dx \ = \frac{3}{2} - 2 \ log \ 2 - \frac{ \pi ^{2} }{24}}\)
867.8: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(1-x) \ log \ x \ log (1-x)dx \ = \ 1 - \frac{ \pi ^{2} }{12}}\)
875.1: \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } e ^{-ax} J _{0}(bx)dx \ = \frac{1}{ \sqrt{(a ^{2} +b ^{2}) } }}\)
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Całki Eulera
O rany, a sam masz jakieś pomysły na te przykłady chociaż?
866.*- podst. \(\displaystyle{ x = e^{-t}}\) i mamy odpowiednią wartość funkcji Gamma.
867.* - rozwinąć w szereg Maclaurina \(\displaystyle{ \ln (1 \pm x)}\) i zmienić kolejność całkowania z sumowaniem. W 867.8 przyda się podstawienie \(\displaystyle{ x = 1-t}\) na początku.
866.*- podst. \(\displaystyle{ x = e^{-t}}\) i mamy odpowiednią wartość funkcji Gamma.
867.* - rozwinąć w szereg Maclaurina \(\displaystyle{ \ln (1 \pm x)}\) i zmienić kolejność całkowania z sumowaniem. W 867.8 przyda się podstawienie \(\displaystyle{ x = 1-t}\) na początku.
Całki Eulera
Na prawdę dziękuje za pomoc. Przyznam się ze te przykłady nie są dla mnie tylko dla dziewczyny do pracy dyplomowej. Matematyka to niestety nie moja dziedzina. Cześć innych zrobiła a z tych ma wybrać jeszcze kilka przykładów. Tylko jest w pracy za granica i nie ma zbyt dużego dostępu do książek i internetu. Wiem ze zawracam głowę ale byłbym wdzięczny za pomoc. Najważniejsze są te poniżej:
Funkcja gamma Eulera
Obliczyć całkę
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}e^{-au}u^{\frac{3}{2}}du}\)
Wyraź \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty} z^{\frac{1}{2}}e^{-z^{3}}dz}\) przez funcję gamma.
Wyraź \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty} x^{5}e^{-x^{4}}dx}\) przez funcję gamma.
Oblicz \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x\ln(\frac{1}{x})}}}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(\ln x)^{n}dx}\)
Funkcja beta Eulera
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits^{2\pi}_{0}\cos^{6}xdx}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}\ (1-\frac{1}{x})^{\frac{2}{3}}dx}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}u^{2}(8-u^{3})^{\frac{1}{3}}du}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}(u(1-u))^{\frac{1}{3}}du}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{a}\frac{-dx}{\sqrt{a^{6}-x^{6}}}}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{\frac{1}{3}}2x dx}\)
Oblicz pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywą \(\displaystyle{ x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1}\)
Funkcja gamma Eulera
Obliczyć całkę
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}e^{-au}u^{\frac{3}{2}}du}\)
Wyraź \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty} z^{\frac{1}{2}}e^{-z^{3}}dz}\) przez funcję gamma.
Wyraź \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty} x^{5}e^{-x^{4}}dx}\) przez funcję gamma.
Oblicz \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x\ln(\frac{1}{x})}}}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(\ln x)^{n}dx}\)
Funkcja beta Eulera
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits^{2\pi}_{0}\cos^{6}xdx}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}\ (1-\frac{1}{x})^{\frac{2}{3}}dx}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}u^{2}(8-u^{3})^{\frac{1}{3}}du}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}(u(1-u))^{\frac{1}{3}}du}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{a}\frac{-dx}{\sqrt{a^{6}-x^{6}}}}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{\frac{1}{3}}2x dx}\)
Oblicz pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywą \(\displaystyle{ x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1}\)
-
miodzio1988
Całki Eulera
\(\displaystyle{ \int_0^1\left(1-\frac{1}{x}\right)^{\frac{2}{3}}\mbox{d}x=\int_0^1x^{-\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{2}{3}}\mbox{d}x=B\left(\frac{1}{3},\frac{5}{3}\right)}\)
\(\displaystyle{ \int\limits^{2\pi}_{0}\cos^{6}xdx=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^6x\mbox{d}x=2B\left(\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)=\frac{2\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)}{\Gamma\left(4\right)}=\frac{5\pi}{8}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(\ln x)^{n}dx=\left[x=exp{-u}\right]=(-1)^n\int_0^{\infty}u^n exp{-u}\mbox{d}u=(-1)^n\Gamma (1+n)}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x\ln(\frac{1}{x})}}=\left[x=exp{-u}\right]=\int_0^{\infty}exp{-\frac{u}{2}}u^{\frac{1}{2}}\mbox{d}u=\left[\frac{u}{2}=t\right]=2\sqrt{2}\int_0^{\infty}exp{-t}t^{\frac{1}{2}}\mbox{d}t=\sqrt{2\pi}}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty} x^{5}e^{-x^{4}}dx=\left[x^4=t\right]=\int_0^{\infty}t^{\frac{5}{4}}exp{-t}\cdot\frac{1}{4t^{\frac{3}{4}}}\mbox{d}t=\frac{1}{4}\int_0^{\infty}t^{\frac{1}{2}}exp{-t}\mbox{d}t=\frac{1}{4}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty} z^{\frac{1}{2}}exp{-z^{3}}\mbox{d}z=\left[z^3=t\right]=\int_0^{\infty}t^{\frac{1}{6}}exp{-t}\cdot\frac{1}{3t^{\frac{2}{3}}}\mbox{d}t=\frac{1}{3}\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}exp{-t}\mbox{d}t=\frac{1}{3}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}exp{-au}u^{\frac{3}{2}}\mbox{d}u=\left[ua=t\right]=\int_0^{\infty}exp{-t}\cdot\left(\frac{t}{a}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{1}{a}\mbox{d}t=a^{-\frac{5}{2}}\int_0^{\infty}exp{-t}t^{\frac{3}{2}}\mbox{d}t=a^{-\frac{5}{2}}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}\)
luka52 Kolega dostał gotowca na innym forum
\(\displaystyle{ \int\limits^{2\pi}_{0}\cos^{6}xdx=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^6x\mbox{d}x=2B\left(\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)=\frac{2\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)}{\Gamma\left(4\right)}=\frac{5\pi}{8}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(\ln x)^{n}dx=\left[x=exp{-u}\right]=(-1)^n\int_0^{\infty}u^n exp{-u}\mbox{d}u=(-1)^n\Gamma (1+n)}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x\ln(\frac{1}{x})}}=\left[x=exp{-u}\right]=\int_0^{\infty}exp{-\frac{u}{2}}u^{\frac{1}{2}}\mbox{d}u=\left[\frac{u}{2}=t\right]=2\sqrt{2}\int_0^{\infty}exp{-t}t^{\frac{1}{2}}\mbox{d}t=\sqrt{2\pi}}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty} x^{5}e^{-x^{4}}dx=\left[x^4=t\right]=\int_0^{\infty}t^{\frac{5}{4}}exp{-t}\cdot\frac{1}{4t^{\frac{3}{4}}}\mbox{d}t=\frac{1}{4}\int_0^{\infty}t^{\frac{1}{2}}exp{-t}\mbox{d}t=\frac{1}{4}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty} z^{\frac{1}{2}}exp{-z^{3}}\mbox{d}z=\left[z^3=t\right]=\int_0^{\infty}t^{\frac{1}{6}}exp{-t}\cdot\frac{1}{3t^{\frac{2}{3}}}\mbox{d}t=\frac{1}{3}\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}exp{-t}\mbox{d}t=\frac{1}{3}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}exp{-au}u^{\frac{3}{2}}\mbox{d}u=\left[ua=t\right]=\int_0^{\infty}exp{-t}\cdot\left(\frac{t}{a}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{1}{a}\mbox{d}t=a^{-\frac{5}{2}}\int_0^{\infty}exp{-t}t^{\frac{3}{2}}\mbox{d}t=a^{-\frac{5}{2}}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}\)
luka52 Kolega dostał gotowca na innym forum