policzyć całkę z pierwiastkiem
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
policzyć całkę z pierwiastkiem
Po namyśle lepiej będzie najpierw scałkować to przez części a dopiero podstawienie
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \left(2a-x \right) \sqrt{2a-x} } \mbox{d}x }= 2 \cdot \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \sqrt{2a-x} }+\int{ \frac{3}{ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \left(2a-x \right) } } \mbox{d}x }}\)
I tu od razu nasuwa się trzecie podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \int{ \frac{3}{ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \left(2a-x \right) } } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \left(2a-x \right) }= \left(2a-x \right)t}\)
\(\displaystyle{ \left(8a-3x \right) \left(2a-x \right) = \left(2a-x \right)^2t^2}\)
\(\displaystyle{ 8a-3x= \left(2a-x \right)t^2}\)
\(\displaystyle{ 8a-3x= 2at^2-xt^2}\)
\(\displaystyle{ x\left(t^2-3 \right) = 2at^2-8a}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2at^2-8a}{t^2-3}=2a- \frac{2a}{t^2-3}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}x =-2a \cdot \left(-1 \right) \cdot \left(t^2-3 \right) \cdot \left(2t \right)= \frac{4at}{ \left(t^2-3 \right)^2 } \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \left(2a-x \right) }= \frac{2at}{t^2-3}}\)
\(\displaystyle{ =\int{ \frac{t^2-3}{2at} } \cdot \frac{4at}{ \left(t^2-3 \right)^2 } \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ =2\int{ \frac{ \mbox{d}t}{t^2-3} }}\)
\(\displaystyle{ =\int{ \frac{A}{t- \sqrt{3} } \mbox{d}t}+ \frac{B}{t+ \sqrt{3} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ At+ \sqrt{3}A+Bt- \sqrt{3}B=2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B=0 \\ \sqrt{3}A- \sqrt{3}B=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} B=-A \\ 2 \sqrt{3}A=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A= \frac{1}{ \sqrt{3} } \\ B=- \frac{1}{ \sqrt{3} } \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{ \sqrt{3} }\ln{ \left| \frac{t- \sqrt{3} }{t+ \sqrt{3} } \right| }}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \left(2a-x \right) \sqrt{2a-x} } \mbox{d}x }= 2 \cdot \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \sqrt{2a-x} }+ \sqrt{3}\ln{ \left| \frac{ \sqrt{8a-3x}- \sqrt{6a-3x} }{\sqrt{8a-3x}+\sqrt{6a-3x}} \right| }+C}\)
Może jeszcze da się ten logarytm uprościć
(programy takie jak Maple nie upraszczają dobrze tego po zróżniczkowaniu )
Logarytm można jeszcze uprościć
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \left(2a-x \right) \sqrt{2a-x} } \mbox{d}x }= 2 \cdot \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \sqrt{2a-x} }- \sqrt{3}\ln{ \left|-3x+7a+ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \left(6a-3x \right) } \right| } +C}\)
Można też od razu zastosować trzecie podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \cdot \left(2a-x \right) } = \left(2a-x \right)t}\)
a następnie rozkład na sumę ułamków prostych
Można będzie wtedy obejść się bez całkowania przez części
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \left(2a-x \right) \sqrt{2a-x} } \mbox{d}x }= 2 \cdot \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \sqrt{2a-x} }+\int{ \frac{3}{ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \left(2a-x \right) } } \mbox{d}x }}\)
I tu od razu nasuwa się trzecie podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \int{ \frac{3}{ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \left(2a-x \right) } } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \left(2a-x \right) }= \left(2a-x \right)t}\)
\(\displaystyle{ \left(8a-3x \right) \left(2a-x \right) = \left(2a-x \right)^2t^2}\)
\(\displaystyle{ 8a-3x= \left(2a-x \right)t^2}\)
\(\displaystyle{ 8a-3x= 2at^2-xt^2}\)
\(\displaystyle{ x\left(t^2-3 \right) = 2at^2-8a}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2at^2-8a}{t^2-3}=2a- \frac{2a}{t^2-3}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}x =-2a \cdot \left(-1 \right) \cdot \left(t^2-3 \right) \cdot \left(2t \right)= \frac{4at}{ \left(t^2-3 \right)^2 } \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \left(2a-x \right) }= \frac{2at}{t^2-3}}\)
\(\displaystyle{ =\int{ \frac{t^2-3}{2at} } \cdot \frac{4at}{ \left(t^2-3 \right)^2 } \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ =2\int{ \frac{ \mbox{d}t}{t^2-3} }}\)
\(\displaystyle{ =\int{ \frac{A}{t- \sqrt{3} } \mbox{d}t}+ \frac{B}{t+ \sqrt{3} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ At+ \sqrt{3}A+Bt- \sqrt{3}B=2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B=0 \\ \sqrt{3}A- \sqrt{3}B=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} B=-A \\ 2 \sqrt{3}A=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A= \frac{1}{ \sqrt{3} } \\ B=- \frac{1}{ \sqrt{3} } \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{ \sqrt{3} }\ln{ \left| \frac{t- \sqrt{3} }{t+ \sqrt{3} } \right| }}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \left(2a-x \right) \sqrt{2a-x} } \mbox{d}x }= 2 \cdot \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \sqrt{2a-x} }+ \sqrt{3}\ln{ \left| \frac{ \sqrt{8a-3x}- \sqrt{6a-3x} }{\sqrt{8a-3x}+\sqrt{6a-3x}} \right| }+C}\)
Może jeszcze da się ten logarytm uprościć
(programy takie jak Maple nie upraszczają dobrze tego po zróżniczkowaniu )
Logarytm można jeszcze uprościć
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \left(2a-x \right) \sqrt{2a-x} } \mbox{d}x }= 2 \cdot \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \sqrt{2a-x} }- \sqrt{3}\ln{ \left|-3x+7a+ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \left(6a-3x \right) } \right| } +C}\)
Można też od razu zastosować trzecie podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \cdot \left(2a-x \right) } = \left(2a-x \right)t}\)
a następnie rozkład na sumę ułamków prostych
Można będzie wtedy obejść się bez całkowania przez części