strumień wektora

[Nulka90]

Oblicz strumień wektora pola \(\displaystyle{ w = [xy,yz,xz]}\) przez płaszczyznę \(\displaystyle{ S}\), która jest częścią płaszczyzny \(\displaystyle{ 2x + 3y + z - 6 = 0}\) zawartą w pierwszej ósemce układu współrzędnych i zorientowana tak, że \(\displaystyle{ \cos(\gamma)<0}\)

z góry dziękuje za pomoc

[janusz47]

Strumień wektora pola:
\(\displaystyle{ \Phi = - \int\int_{S}(P\cos \alpha + Q\cos \beta +R \cos \gamma )dS = -\int \int_{S}(Pdy \wedge dz + Qdz \wedge dz + Rdx\wedge dy)= -\int \int \int_{V}(P_{|x} + Q_{|y} + R_{|z})dxdydz= -\int_{0}^{3}\int_{0}^{\frac{1}{3}(1-2x)}\int_{0}^{6-2x -3y}(y +z +x)dzdydx}\)
Zastosowaliśmy twierdzenie Gaussa - Ostrogradskiego.
Całka zorientowana ujemnie, bo \(\displaystyle{ \cos \gamma < 0.}\)

[Nulka90]

czemu granica całkowania po \(\displaystyle{ y}\) jest od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{3} - \frac{2}{3} x}\) ? nie powinno być \(\displaystyle{ 2 - \frac{2}{3} x}\) ? nie przyjmujemy dla \(\displaystyle{ z=0}\), czyli \(\displaystyle{ 2x + 3y = 6}\) ?

[janusz47]

Granica zmiennej y powinna być od 0 do \(\displaystyle{ \frac{6-2x}{3}= 2 - \frac{2}{3}x.}\)
6 zmiast 1 przepraszam.

[Nulka90]

dziękuję bardzo