Całka funkcji cyklometrycznej

[darek88]

Nie. Więc proszę Cię, pokaż, jak to zrobić.

[miodzio1988]

No to wracaj do liczenia całki znowu

[darek88]

Proszę Cię, zacznij chociaż.

[miodzio1988]

Proszę Cię, zacznij chociaż.

Nie. Licz całkę i mnie nie denerwuj. Gotowca nie będzie

[miki999]

Toć już prawie zrobiłeś zadanie. Wyznaczenie: \(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{dt}}{ \sqrt{t} }}\) nie powinno przekraczać Twoich możliwości.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \int \arcsin(x)dx = \int1\cdot \arcsin(x)dx = \int x' \arcsin(x)dx = x\arcsin(x) - \int\frac{x}{\sqrt{1 -x^{2}}}dx=.}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ \sqrt{1 -x^{2}} = t.}\)
\(\displaystyle{ 1 - x^{2} = t^{2}}\)
\(\displaystyle{ -2xdx = 2tdt.}\)
\(\displaystyle{ xdx = -tdt.}\)
\(\displaystyle{ =x\arcsin(x)+\int\frac{tdt}{t}= x \arcsin(x)+ \int dt = x\arcsin(x)+t +C=x\arcsin(x)+\sqrt{1-x^{2}} + C.}\)

[darek88]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} arcsinxdx=xarcsinx- \int_{}^{} \frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } dx=xarcsinx+ \int_{}^{} \frac{x}{ \sqrt{t} } \frac{dt}{2x} = xarcsinx+ \int_{}^{} \frac{1}{2 \sqrt{t} } dt=xarcsinx+ \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{t} } dt}\)Czy to co napisałem, jest dobrze?

[miki999]

Czy to co napisałem, jest dobrze?

Formalnie nie- ze względu na 2 zmienne w całce po 2. równości. Wniosek (czyli ostatnia równość) jest ok.

[darek88]

Czy ostateczny wynik to \(\displaystyle{ \int_{}^{} arcsinxdx=xarcsinx+(1-x^2)^ \frac{1}{2} +C}\)?

[miki999]

Tak.


Pozdrawiam.

[darek88]

A o co chodzi z tymi dwoma zmiennymi po drugiej równości?

-- 12 lipca 2010, 16:59 --

A o co chodzi z tymi dwoma zmiennymi po drugiej równości?-- 12 lipca 2010, 17:04 --Dziękuję za pomoc.

[miki999]

Chodzi o to, że pod całką masz i iksa i \(\displaystyle{ t}\), co nie jest zbyt eleganckie.



Pozdrawiam.

[darek88]

Ale to nie jest źle?

[miodzio1988]

No nie jest (formalnie jest , praktycznie nie jest)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int{\arcsin{x} \mbox{d}x }=x\arcsin{x}+ \sqrt{1-x^2}+C}\)

Najpierw całkujesz przez części a później podstawiasz za to co pod pierwiastkiem