Matematyka.pl

Obliczyć całkę po obszarze D.
\(\displaystyle{ \iint_{d} 4xy \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
D jest obszarem ograniczonym wykresami
\(\displaystyle{ y=\sin x}\)
\(\displaystyle{ y=\cos x}\)
\(\displaystyle{ x \in [0,2\pi]}\)

Narysowałem obszar:

No i zauważyłem, że pole tego wszystkiego, to będzie dwa razy całka z tego obszaru środkowego. Czyli:

\(\displaystyle{ 2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \mbox{d}x \int_{\cos x}^{\sin x} 4xy \mbox{d}y = 8\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}x \mbox{d}x \int_{\cos x}^{\sin x} y \mbox{d}y=}\)
\(\displaystyle{ = 4\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}x \left [y^2\right ]_{\cos x}^{\sin x} \mbox{d}x = 4\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}x(\sin^2x-cos^2x)= -4\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}x(cos^2x-\sin^2x) \mbox{d}x = -4\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}x\cos2x \mbox{d}x}\)
No a z tego przez części wychodzi mi \(\displaystyle{ -2\pi}\)

No i po prostu nie wiem, nie widzę błędu...
Jeśli to nie problem, to popatrzcie też na to:
204662.htm
Bo coś nie mam szczęścia do podwójnych chyba...

Pole nie ma tu nic do rzeczy - nie liczysz przecież pola tej figury tylko całkę po tym obszarze, a to zupełnie co innego. Zapisz po ludzku sumę 3 całek to wyjdzie.

Pozdrawiam.

Czyli jak całka wyjdzie ujemna, to jest wsio ok? Bo chyba się nie spotkałem z ujemnym wynikiem w swoim krótkim życiu

To zależy jaka. Jeśli ma to być pole, masa lub objętość to oczywiście musi być dodatnia. Dla przykładu, jeśli całka oznaczona (pojedyncza) jest ujemna to oznacza tylko tyle, że figura ograniczona wykresem funkcji i osią \(\displaystyle{ OX}\) w większości leży pod osią \(\displaystyle{ OX}\) (w dwóch wymiarach w przypadku standardowym oznacza to, że bryła ograniczona wykresem funkcji dwóch zmiennych i płaszczyzną \(\displaystyle{ XOY}\) leży w większości "pod" płaszczyzną \(\displaystyle{ XOY}\)).

Pozdrawiam.