Całka oznaczona z definicji

[h3X]

Prosze o pomoc w obliczeniu całki z definicji:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} (x-1)dx}\)

[szw1710]

Całka to granica ciągu sum całkowych. Szczegóły tu trudno pisać - zobacz do notatek z wykładu. W każdym razie nasza funkcja jest całkowalna jako ciągła. Wobec tego weź dowolne \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) i podziel przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\) na \(\displaystyle{ n}\) równych części. Utwórz sumy całkowe z punktami pośrednimi np. na początku każdego podprzedziału. Wylicz te sumy - powinno się dać nietrudno zrobić, będą tu ingerować wzory na sumy kwadratów pierwszysh \(\displaystyle{ n}\) liczb naturalnych (tak na wyczucie piszę, bo nie będę szczegółowo wyliczał). Potem przejdź do granicy z tymi sumami przy \(\displaystyle{ n\to\infty.}\) Wartość tej granicy da wartość całki, czyli tutaj oczywiście \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}.}\)