Zbieżność całki niewłaściwej
: 29 cze 2010, o 02:38
Zbieżność całki niewłaściwej:
\(\displaystyle{ \lim_{ T\to \infty } \int_{2}^{T} \frac{ \frac{ \pi }{2} - arctgx }{x} dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{2}^{T} \frac{ \pi }{2} \cdot x - \int_{2}^{T} \frac{arctgx}{x}}\)
jako, że pierwszą z całek obliczę bez problemu, więc skupię się na drugiej
\(\displaystyle{ \begin{cases} u = \frac{1}{x} \\ u'= -\frac{1}{ x^{2} } \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} v = \frac{1}{1 + x^{2}} \\ v' = arctgx \end{cases}}\)
(sory za latexa jeszcze nie jestem super pro.)
\(\displaystyle{ 2 calka = \left[\frac{1}{x^{3} + x} \right]_2^T - \int_{2}^{T} - \frac{1}{x^{4}+x^{2}}}\)\(\displaystyle{ = - \int_{2}^{T} \frac{-dx}{x^{2} \cdot (x^{2} + 1)}}\)
\(\displaystyle{ t = \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{ x^{2} } dx = dt}\)
\(\displaystyle{ \int_{2}^{T} \frac{dt}{ ( \frac{1}{t} )^{2} + 1 } = - \left[-t^{2}arctg \frac{1}{t} \right]_2^T}\)
Czy całka liczona poprawnie?
\(\displaystyle{ \lim_{ T\to \infty } \int_{2}^{T} \frac{ \frac{ \pi }{2} - arctgx }{x} dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{2}^{T} \frac{ \pi }{2} \cdot x - \int_{2}^{T} \frac{arctgx}{x}}\)
jako, że pierwszą z całek obliczę bez problemu, więc skupię się na drugiej
\(\displaystyle{ \begin{cases} u = \frac{1}{x} \\ u'= -\frac{1}{ x^{2} } \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} v = \frac{1}{1 + x^{2}} \\ v' = arctgx \end{cases}}\)
(sory za latexa jeszcze nie jestem super pro.)
\(\displaystyle{ 2 calka = \left[\frac{1}{x^{3} + x} \right]_2^T - \int_{2}^{T} - \frac{1}{x^{4}+x^{2}}}\)\(\displaystyle{ = - \int_{2}^{T} \frac{-dx}{x^{2} \cdot (x^{2} + 1)}}\)
\(\displaystyle{ t = \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{ x^{2} } dx = dt}\)
\(\displaystyle{ \int_{2}^{T} \frac{dt}{ ( \frac{1}{t} )^{2} + 1 } = - \left[-t^{2}arctg \frac{1}{t} \right]_2^T}\)
Czy całka liczona poprawnie?