Matematyka.pl

Witam
Przerabiamy teraz na zajęciach zadania z całki podwójnej i liczymy objętości brył.
Zacząłem rozumieć proste zadania, gdzie granice górna-Zg i dolna Zd sa podane w równaniach na początku zadań.

Jednak mam wielki problem z ich wyznaczaniem tych granic z rysunku. Otóż robię sobie rysunek ograniczony powierzchniami podanymi w zadaniu i mam zamiar liczyć całkę - ale jak tu zaczynać ją liczyć kiedy do głównego wzoru na objętość brył trzeba wstawić granice (Zd-Zg) dxdy.

Podam przykładowe zadanie, które mam rozwiązane (z wykładów), ale ja nie wiem skąd wzieły się te granice, jak je wyznaczyć na podstwie rysunku ? Bardzo proszę o pomoc i jakieś wytłumaczenie, bo męczę się z tym naprawdę długo - jak je szybko wyznaczać

1. Oblicz objętość ostrosłupa o wierzchołkach
(0,0,0)
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)




Czy bierzemy wyznacza się je z układu XY czy XYZ ? Na co zwracać uwagę ?

Granice dla 'z' bierzesz od razu z równania.

Rzutujesz swoją bryłe na płaszczyznę oxy, więc z=0. Dlatego mamy 0=1-x-y, czyli np: y= 1-x

Masz dobry rysunek rzutu, i z niego odczytujesz granice dla x oraz y.
Widać, że igreki zmieniają się od 0 do równania prostej, czyli granica będzie \(\displaystyle{ y<0,1-x>}\)
zaś iksy, \(\displaystyle{ x<0,1>}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1-x-y} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1}dxdydz=...}\)

Górna granica to równanie płaszczyzny przechodzącej przez 3 punkty (3 ostatnie z podanych przez Ciebie) \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\). To musiałeś mieć na algebrze.
Natomiast dolna to również płaszczyzna, ale jej postać jest od razu widoczna (jest równoległa do płaszczyzny xy i przechodzi przez punkt początku układu współrzędnych (0,0)) \(\displaystyle{ z=0}\).

@okon - tOmmy ma problem z granicami w podwójnych, a Ty wyjeżdżasz z potrójnymi.

Chłopaki wielkie wielki dzięki - zrozumiałem to :)
Jak tylko czegoś nie będę wiedział od razu do Was uderzam